tích phân từng phần và các dạng bài tập Tích phân từng phần – Các dạng bài tập và Cách giải tích phân từng phần

Tích phân từng phần là một dạng bài quan trọng trong toán học 12. Vậy công thức tích phân từng phần là gì? Và cách làm các dạng bài tập về tích phân từng phần thế nào? Hãy cùng DINHNGHIA.COM.VN tìm hiểu dưới đây nhé!

Công thức tính tích phân từng phần

Tích phân từng phần là dạng bài phân tích tích các hàm số dựa trên việc phân tích đạo hàm và nguyên hàm của các hàm số đó. Đây là cách làm để biến đổi phần tích của các nguyên hàm thành một nguyên hàm mới đơn giản hơn.

Để tính tích phân từng phần, người ta thường áp dụng các công thức sau:  

Giả sử u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trong miền D, khi đó ta có:

  • Công thức nguyên hàm: udv = uv – vdu
  • Công thức tích phân: abudv = b  a  abvdu

Đối với dạng bài tích phân từng phần, ta cần quan tâm tới thứ tự ưu tiên đặt u. Trước hết, cần đặt u và v sao cho du và dv dễ tính nhất. Cách đơn giản nhất là ta nên chọn ku và kv với k=1. Bởi nếu k là một số khác không phải 1 thì khi đạo hàm sẽ rắc rối và phức tạp hơn. Cách đặt trong tích phân từng phần rất quan trọng. Việc đặt càng đơn giản, dễ giải thì bài toán cũng sẽ trở nên đơn giản hơn.

>>> Click Xem thêm: Lũy thừa là gì? Lũy thừa của một tích và Lũy thừa của lũy thừa

Phương pháp tính tích phân từng phần

Cách làm tích phần từng phần gồm các bước sau:

Bước 1: biến đổi biểu thức ban đầu về dạng I = abf(x). g(x)dx

Bước 2: đặt {u = f(x) dv= g(x)dx vậy suy ra {du = f'(x)dx v= g(x)dx

Lúc này ta cần chọn v là một nguyên hàm của g(x).

Bước 3: Khi đó I= abudv = b  a  abvdu

Khi đặt u bạn có thể đặt theo mẹo: nhất log nhì đa tam lượng tứ mũ. Bởi với cách đặt này, tính đạo hàm từng phần sẽ đơn giản hơn.

tích phân từng phần và các dạng bài tập Tích phân từng phần – Các dạng bài tập và Cách giải tích phân từng phần

Một số dạng tính tích phần từng phần

Dạng 1: tách tích phân thành 2 phần, từng phần 1 phần sao cho phần còn lại khử vdu

Bài toán tổng quát: tìm nguyên hàm: I = e2x (x2+4x +1)dx

Thông thường, ta sẽ đặt u = x2 +4x +1. Tuy nhiên, với cách làm này, ta sẽ phải tích phân 2 lần. Vậy để tiết kiệm thời gian và giúp bài toán đơn giản hơn, ta có thể đặt: {u=x2 dv= e2xde  suy ra: du= 2xdx và v= 1/2e2x

Lúc này, -vdu = -xe2x dx. Vậy là ta đã khử hết xe2x do đó thêm vào u +3x để phần còn lại chỉ còn xe2x.

Dạng 2: thêm hằng số cho v

Trong các bài toán có chứa mẫu số, ta nên chọn cho v một hằng số C thích hợp để thành phần vdu khử bớt phân số.

Ví dụ: tính tích phân: 04ln(sinx +cosx)cos2x

Đặt u = ln(sinx +cosx) suy ra: du= cosx -sinxsinx+cosxdx và V= 1cox2xdx

Chọn v= tan x +1 = sinx+cosxcosx

Bình thường ta thường chọn v = tan x, nhưng với dạng bài tích phân từng phần này, ta nên thêm hằng số C =1 để khử mẫu giúp bài toán đơn giản hơn.

Cuối cùng, bạn chỉ cần lắm số vào và tính như bình thường.

Đối với biểu thức cần tính tích phân là logarit, ta cũng có thể sử dụng tích phân từng phần bằng cách đặt u chính là hàm logarit đó và dv=dx.  

Qua 2 dạng bài trên, có thể thấy để làm được tích phân nói riêng và tích phân từng phần nói chung, bạn cần nắm rõ các công thức và quy tắc đạo hàm. Qua đó giúp việc áp dụng và xử lý bài toán linh hoạt và nhuần nhuyễn hơn.

Hy vọng qua bài viết trên đây, bạn đã hiểu rõ hơn về tích phân từng phần, phương pháp tinh cũng như một số cách tính sao cho bài toán đơn giản hơn. Đây là một dạng toán không khó nhưng yêu cầu khi học cần chú ý và tập trung ghi nhớ. Bên cạnh bài viết tích phân từng phần, các bạn hãy nhớ truy cập DINHNGHIA.COM.VN để tìm hiểu nhiều kiến thức hơn nữa nhé.

Tác giả: Việt Phương

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *