Phép vị tự là gì? Công thức, Lý thuyết và Bài tập phép vị tự

Toán họcPhép vị tự là gì? Công thức, Lý thuyết và Bài tập...

Ngày đăng:

0
(0)

Phép vị tự là gì? Công thức phép vị tự là gì? Lý thuyết và cách giải bài tập phép vị tự như nào? Cùng DINHNGHIA.COM.VN tìm hiểu về chủ đề nay qua nội dung bài viết dưới đây nhé!

Phép vị tự là gì? Định nghĩa phép vị tự

Định nghĩa phép vị tự là gì?

Cho điểm O và số (kneq 0). Phép biến hình mỗi điểm M thành M’ sao cho: (underset{OM}{rightarrow} = kunderset{OM’}{rightarrow}) được gọi là phép vị tự tâm O tỷ số k. Ký hiệu (V_{(O;k)})

Tính chất của phép vị tự

  • Tính chất 1: Nếu phép vị tự tỷ số k biến hai điểm M,N thành M’,N’ thì (underset{M’N’}{rightarrow} = kunderset{MN}{rightarrow})
  • Tính chất 2: Phép vị tự tỷ số k:
  1. Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự các điểm ấy.
  2. Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng ấy, biến một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng.
  3. Biến một tam giác thành một tam giác đồng dạng với nó, một góc thành một góc bằng với nó.
  4. Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Biểu thức tọa độ

Cho O(a;b) và phép vị tự (V_{(O,k)}).

(M(x;y)rightarrow M’ = V_{(O,k)}(M) = (x’;y’))

Tâm vị tự của hai đường tròn

  • Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia, tâm của phép vị tự này được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn.
  • Cho hai đường tròn (I;R) và (I;R’)
  • Nếu (Iequiv I’) thì các phép vị tự (V_{I;pmfrac{R}{R’}}) biến (I;R) thành (I;R’)
Tâm vị tự của hai đường tròn
Tâm vị tự của hai đường tròn
  • Nếu (Ineq I’) và (Rneq R’) thì các phép vị tự (V_{(O;frac{R’}{R})}) và (V_{(O_{1};-frac{R’}{R})}) biến (I;R) thành (I’;R’). Ta gọi O là tâm vị tự ngoài còn (O_{1}) là tâm vị tự trong của hai đường tròn.
Tâm vị tự của hai đường tròn
Tâm vị tự của hai đường tròn
  • Nếu (Ineq I’) và (Rneq R’) thì có (V_{(O_{1};-1)}) biến (I;R) thành (I;R’)
Tâm vị tự của hai đường tròn
Tâm vị tự của hai đường tròn

Có thể bạn quan tâm:

Một số dạng toán về phép vị tự

Bài toán 1: Xác định ảnh của một hình qua phép vị tự

Phương pháp:

Dùng định nghĩa, tính chất và biểu thức tọa độ của phép vị tự.

Bài toán 2: Tìm tâm vị tự của hai đường tròn

Phương pháp:

Sử dụng cách tìm tâm vị tự của hai đường tròn trong bài học.

Bài toán 3: Sử dụng phép vị tự để giải các bài toán dựng hình

Phương pháp:

Để dựng một hình (H) nào đó ta quy về dựng một số điểm ( đủ để xác định hình (H)) khi đó ta xem các điểm cần dựng đó là giao của hai đường trong đố một đường có sẵn và một đường là ảnh vị tự của một đường khác.

Bài toán 4: Sử dụng phép vị tự để giải các bài toán tập hợp điểm

Phương pháp:

Để tìm tập hợp điểm M ta có thể quy về tìm tập hợp điểm N và tìm một phép vị tự (V_{(I;k)}) nào đó sao cho (V_{(I;k)}(N) = M) suy ra quỹ tích điểm M là ảnh của quỹ tích N qua (V_{(I;k)})

Một số ví dụ và cách giải bài toán về phép vị tự

Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD có các đáy CD = 3AB. Hãy xác định các phép vị tự biến (vec{AB}) thành (vec{DC}); biến (vec{AB}) thành (vec{CD})

Cách giải:

Một số ví dụ và cách giải bài toán về phép vị tự
Một số ví dụ và cách giải bài toán về phép vị tự

Gọi I là giao điểm của AB và CD, khi đó

(V_{(I;3)} (vec{AB}) = vec{DC})

Gọi O là giao điểm của AC và BD, khi đó:

(V_{(O;-3)} (vec{AB}) = vec{CD})

Ví dụ 2: Cho điểm A và một đường thẳng d cố định. M là điểm di động trên d. Tìm tập hợp trung điểm của đoạn thẳng AM

Cách giải:

Một số ví dụ và cách giải bài toán về phép vị tự
Một số ví dụ và cách giải bài toán về phép vị tự

Gọi P là trung điểm của đoạn AM, ta có: (V_{(A;frac{1}{2})} (M) = P)

Tập hợp các điểm M là đường thẳng d, vậy tập hợp các điểm P là đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua (V_{(A;frac{1}{2})})

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(4;5) và I(3;2). Tìm ảnh của tâm A qua phép vị tự tâm I tỷ số k = 3

Cách giải:

Gọi A’(x;y) là ảnh của điểm A qua phép vị tự tâm I tỷ số k = 3

Ta có:

(vec{IA’} = 3vec{IA} Leftrightarrow left{begin{matrix} x-x_{I} = 3(x_{A} – x_{I}) y-y_{I} = 3(y_{A} – y_{I}) end{matrix}right.)

(Leftrightarrow left{begin{matrix} x-3 = 3(4 – 3) y+2 = 3(5 + 2) end{matrix}right. Rightarrow left{begin{matrix} x = 6 y = 19 end{matrix}right.)

(Leftrightarrow A'(6;19))

Vậy ảnh của điểm A qua phép vị tự tâm I, tỷ số k = 3 là A’(6;19)

Ví dụ 4: Tìm ảnh của đường thẳng d: 2x-5y+3=0 qua phép vị tự tâm O tỷ số k = -3.

Cách giải:

Gọi M(x;y) là một điểm bất kỳ nằm trên đường thẳng d:2x-5y+3=0.

Gọi M’(x’;y’) là ảnh của điểm M qua phép vị tự tâm O tỷ số k = 3

Ta có:

(vec{OM’} = -3vec{OM} Rightarrow left{begin{matrix} x’ = -3x y’ = -3y end{matrix}right.)

(Leftrightarrow left{begin{matrix} x = -frac{x’}{3} y = -frac{y’}{3} end{matrix}right. Rightarrow M(-frac{x’}{3};-frac{y’}{3}))

Do điểm (M(-frac{x’}{3};-frac{y’}{3}) in d: 2x-5y+3=0)

(Leftrightarrow 2(-frac{x’}{3}) – 5(-frac{y’}{3}) + 3=0 Leftrightarrow -2x’+5y’+9=0 Leftrightarrow M’in d’:-2x+5y+9=0)

Vậy phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm O tỷ số k = -3 là: -2x+5y+9=0

Xem thêm:

Trên đây là những kiến thức liên quan đến chủ đề phép vị tự, cũng như công thức phép vị tự. Hy vọng đã cung cấp cho các bạn những thông tin bổ ích phục vụ cho quá trình tìm tòi và nghiên cứu của bản thân về kiến thức về phép vị tự. Chúc bạn luôn học tốt!

Bạn thấy bài viết này hữu ích chứ?

Hãy chọn vào ngôi sao để đánh giá bài viết

Đánh giá trung bình 0 / 5. Lượt đánh giá 0

Hãy là người đầu tiên đánh giá bài viết

Hãy để lại bình luận

Xem nhiều

Bài tin liên quan

1km2 bằng bao nhiêu hm2? Quy đổi Kilômét vuông sang Héctômét vuông

Ki-lô-mét vuông và héc-tô-mét vuông là đơn vị đo...

Kg/cm2 là gì? Quy đổi kg/cm2 sang kN/m2, MPa, t/m2, psi, kPa, bar

Các đơn vị đo áp suất thường được ứng...

1 hg bằng bao nhiêu kg? Quy đổi từ Héctôgam sang Kilôgam

Đơn vị đo khối lượng hg và kg không...

1kg bằng bao nhiêu tạ, gam, tấn, yến? Cách đổi đơn vị kilogam

Trong cân lường, đơn vị ki-lô-gam thường được chuyển...