Tính diện tích hình phẳng là một ứng dụng quan trọng của tích phân trong chương trình toán phổ thông. Vậy diện tích hình phẳng là gì? Các dạng bài tập tìm diện tích hình phẳng? Cách tìm diện tích hình phẳng như nào? Trong bài viết dưới đây Dinhnghia.com.vn sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề này nhé!
Nội dung bài viết
Diện tích hình phẳng là gì?
Diện tích hình phẳng là một khái niệm trong toán học, đây là đơn vị đo lường diện tích của một hình học nằm trong một mặt phẳng hai chiều. Diện tích hình phẳng là đại lượng dương (+) và thường được đo bằng các đơn vị diện tích như mét vuông (m²), centimet vuông (cm²), kilômét vuông (km²),…
Diện tích hình phẳng được ứng dụng rất đa dạng và phổ biến trong nhiều lĩnh vực như xây dựng, đo lường, hình học, khoa học tự nhiên và kỹ thuật,… Chẳng hạn, tính diện tích mặt sàn, diện tích bề mặt trong xây dựng và kiến trúc, hay diện tích đất trồng, đất canh tác trong nông nghiệp,…
Có thể bạn quan tâm:
- Mét vuông đổi ra mét bằng bao nhiêu? Có đổi được không?
- Cách đổi inch sang m cực chính xác, nhanh chóng bằng công cụ
- 1 độ bằng bao nhiêu phút, giây, radian? Cách đổi đơn vị độ (góc)
Công thức tính diện tích hình phẳng cơ bản đến nâng cao
Công thức tính diện tích hình phẳng bằng tích phân
Dạng cơ bản (một đồ thị hàm số)
Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=a,x=b là :
S=∫[ba] |f(x)|dx
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hàm số f(x) = 2x + 1 và trục hoành trên đoạn[0, 3].
Cách giải: Áp dụng công thức ta có: S = ∫[0, 3] |2x + 1|dx
Xét 2 trường hợp:
- TH1: 2x + 1 ≥ 0 ∀x ∈ [0;3], ta có: ∫[0, 3] (2x + 1)dx = [x² + x] ∀ x trên đoạn [0, 3]
= (3² + 3) – (0^2 + 0)= 12
- TH2: 2x + 1 < 0 ∀x ∈ [0;3], ta có: ∫[0, 3] -(2x + 1)dx = -[x² + x] ∀ x trên đoạn [0, 3]
= -(3² + 3) – (0² + 0)= -12
Tổng diện tích: S= |12| + |-12|= 12 + 12= 24
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x)= 2x + 1 và trục hoành trên đoạn [0;3] là 24 (đvdt)
Dạng mở rộng (hai đồ thị hàm số)
Nếu hàm số y=f(x) và y=g(x) liên tục trên đoạn [a;b], diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), y=g(x) và hai đường thẳng x=a, x=b.
S=∫[ba] |f(x) − g(x)|dx
Ví dụ: Tìm diện tích hình phẳng S được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y=x² và y=2x
Cách giải: Ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai hàm số trên là:
x²= 2x ⇔ x² − 2x= 0 ⇔ x= 0; x= 2
Vậy hình phẳng S được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y=x², y=2x và hai đường thẳng x=0, x=2
Áp dụng công thức trên ta có: S=∫[2;0] |x² − 2x|dx =∫[2;1] (x² − 2x)dx = 4/3 (đvdt)
Ngoài ra, ta còn có trường hợp diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3 hàm số:
Bài toán: Tính diện tích hình phẳng S được giới hạn bởi đồ thị ba hàm số: y=f(x); y= g(x); y= h(x)
Các bước làm như sau:
- Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm của từng cặp đồ thị là a;b;c với a≤b≤c
- Bước 2: Diện tích hình phẳng S sẽ được tính theo công thức :
S= ∫[b;a] [g(x) – h(x)]dx – ∫[c;b] [f(x) – h(x)]dx
Công thức tính thể tích vật thể trong không gian bằng tích phân
Dạng tổng quát (vật thể bất kì)
Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x; a ≤ x ≤ b. Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b].
V= ∫[b;a] S(x)dx
Dạng đặc biệt (khối tròn xoay)
Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quanh hình phẳng quanh trục Ox
Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y= f(x), trục hoành và hai đường thẳng x= a; x= b quanh trục Ox:
Vx= π.∫[b;a] [f(x)]²dx
Ví dụ: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y= cos2x; x= 0; x= π/4 và Ox. Tính thể tích khối tròn xoay quay xung quanh trục Ox.
Cách giải: Thể tích khối tròn xoay cần tính là:
V= π.∫[π/4;0] (cos²2x)dx= π.∫[π/4;0] (1 + cos4x)dx
= π/2 (x + (sin4x/4) trên đoạn [π/4;0]
Áp dụng tích phân từng phân, ta có: V= π/2.π/4 = π²/8 (đvtt)
Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quanh hình phẳng quanh trục Oy
Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y), trục hoành và hai đường thẳng y= c; y= d quanh trục Oy:
Vy= π.∫[d;c] [g(y)]²dy
Ví dụ: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y= 2/y; y= 1; y= 4 và Ox. Tính thể tích khối tròn xoay quay xung quanh trục Oy.
Cách giải: Thể tích khối tròn xoay cần tính là:
V= π.∫[4;1].(2/y)²dy= π.(-4/y) trên đoạn [4;1]
Áp dụng tích phân từng phân, ta có: V= π.[(-4/4) – (-4/1)]= 3π (đơn vị thể tích)
Xem thêm:
- Định nghĩa về số chính phương là gì? Dấu hiệu, Tính chất, Bài tập số chính phương
- Hàm số mũ là gì? Định nghĩa và Tính chất của hàm số mũ
- Số phức là gì? Modun số phức? Bài tập công thức số phức
Bài viết trên đây của Dinhnghia.com.vn đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết về các công thức diện tích hình phẳng bằng tích phân cũng như một số dạng bài tập tính diện tích hình phẳng. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập. Chúc bạn luôn học tốt!
