Tích vô hướng của hai vectơ: Một số dạng bài tập và Ứng dụng

Toán họcTích vô hướng của hai vectơ: Một số dạng bài tập và...

Ngày đăng:

0
(0)

Tích vô hướng của hai vectơ là phần kiến thức cực kỳ quan trọng trong chương trình toán học phổ thông. Vậy tích vô hướng của hai vectơ là gì? Định nghĩa, tính chất và ứng dụng của tích vô hướng của 2 vectơ như nào? Hãy cùng DINHNGHIA.COM.VN tìm hiểu về chủ đề tích vô hướng của hai vectơ lớp 10 qua bài viết dưới đây nhé!

Tích vô hướng của hai vectơ là gì?

Định nghĩa tích vô hướng của 2 vectơ

Tích vô hướng của 2 vectơ a⃗ và b⃗ là một số, kí hiệu là a⃗ .b⃗ , được xác định bởi công thức a⃗ .b⃗ =|a⃗ ||b⃗ | .cos(a⃗ ,b⃗ ) (1)

Lưu ý về tích vô hướng của hai vectơ lớp 10

Với a⃗ và b⃗ khác Extra close brace or missing open brace, ta có:

a⃗ .b⃗ =0⇔a⃗ ⊥b⃗

Hai vectơ (khác vectơ không) vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0.

Tích vô hướng của hai vectơ là gì?
Tích vô hướng của hai vectơ là gì?

Khái niệm bình phương vô hướng là gì?

Khi a⃗ =b⃗ thì công thức (1) trở thành:

a⃗ .a⃗ =|a⃗ |.|a⃗ |.cos0∘=|a⃗ |2

Người ta ký hiệu tích vô hướng a⃗ .a⃗ là (a⃗ )2 hay đơn giản là a⃗ 2 và gọi là bình phương vô hướng của vectơ a⃗ .

Như vậy, ta có:

a⃗ 2=|a⃗ |.|a⃗ |.cos0∘=|a⃗ |2

Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó.

Những tính chất của tích vô hướng

Với hai số thực a và b, ta có ab = ba; a(b + c) = ab + ac. Vậy với hai vecto a⃗ và b⃗ , ta có các tính chất tương tự.

Với ba vecto a⃗ ,b⃗ ,c⃗ tùy ý và mọi số thực k, ta có:

a⃗ .b⃗ =b⃗ .a⃗ (Tính chất giao hoán)

(ka⃗ ).b⃗ =a⃗ .(kb⃗ )=k(a⃗ .b⃗ )

a⃗ .(b⃗ +c⃗ )=a⃗ .b⃗ +a⃗ .c⃗ (Tính chất phân phối đối với phép cộng)

Những tính chất của tích vô hướng
Những tính chất của tích vô hướng

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trên mặt phẳng tọa độ (O;i⃗ ,j⃗ ), cho hai vectơ a⃗ =(a1,a2),b⃗ =(b1,b2).

Khi đó, ta có công thức:

a⃗ .b⃗ =a1.b1+a2.b2

Nhận xét:

Hai vectơ a⃗ =(a1.a2) và b⃗ =(b1.b2) khác vectơ 0⃗ vuông góc với nhau khi và chỉ khi a1.b1+a2.b2=0

a⃗ ⊥b⃗ ⇔a1.b1+a2.b2=0

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Ứng dụng tích vô hướng của hai vectơ

Từ biểu thức tọa độ của tích vô hướng, suy ra một số hệ thức quan trọng sau, cho phép tính được: độ dài và góc của hai vectơ khi biết tọa độ của chúng và tính được khoảng cách giữa hai điểm khi biết tọa độ của hai điểm đó.

Độ dài của vectơ

Độ dài của vectơ a⃗ =(a1;a2) được tính theo công thức

|a⃗ |=sqrt(a^21)+sqrt(a^22)

Góc giữa hai vectơ

Với hai vectơ a⃗ =(a1;a2) và b⃗ =(b1;b2) khác 0⃗ , từ định nghĩa của tích vô hướng và hệ thức độ dài trên, ta suy ra góc giữa hai vectơ được xác định bởi hệ thức sau:

cos(a⃗ ,b⃗ )=a⃗ .b⃗ ∣∣a⃗ ∣∣.∣∣b⃗ ∣∣=a1.b1+a2.b2a21+a22√.b21+b22√

Khoảng cách giữa hai điểm

Khoảng cách giữa hai điểm A(xA;yA),B(xB;yB) được tính theo công thức sau:

AB=sqrt((xB–xA)2+(yB–yA)^2)

Ứng dụng tích vô hướng của hai vectơ
Ứng dụng tích vô hướng của hai vectơ

Bài tập tích vô hướng của 2 vectơ và cách giải

Dạng 1: Xác định biểu thức tích vô hướng, góc giữa hai vectơ

Phương pháp:

Dựa vào định nghĩa a⃗ .b⃗ =|a⃗ |.∣∣b⃗ ∣∣.cos(a⃗ ;b⃗ )

Sử dụng tính chất và các hằng đẳng thức của tích vô hướng của 2 vectơ

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a, BC = 2a. Tính tích vô hướng (vec{BA}.vec{BC}

Cách giải:

Theo định nghĩa tích vô hướng ta có:vec{BA}.vec{BC} = vec{BA} .vec{BC}cosvec{BA}vec{BC} = 2a^2cosvec{BA},vec{BC}

Mặt khác cosBA→,BC→=cosABC=a2a=12

Nên BA→.BC→=a2

Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức về tích vô hướng hoặc độ dài của đoạn thẳng

Phương pháp:

Nếu trong đẳng thức chứa bình phương độ dài của đoạn thẳng thì ta chuyển vế vectơ nhờ đẳng thức AB2=AB→2

Sử dụng các tính chất của tích vô hướng, các quy tắc phép toán vectơ

Sử dụng hằng đẳng thức vectơ về tích vô hướng

Ví dụ 2: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB và M là điểm tùy ý. Chứng minh rằng MA→.MB→=IM2–IA2

Cách giải:

Đẳng thức cần chứng minh được viết lại là MA→.MB→=IM2→–IA2→

Để làm xuất hiện IA→,IM→ ở vế phải, sử dụng quy tắc ba điểm để xen điểm I vào ta được:

VT=MI→+IA→.MI→+IB→=MI→+IA→.MI→–IA→=IM→2–IA→2=VP (đpcm)

Xem thêm:

Trên đây là những kiến thức liên quan đến chủ đề tích vô hướng của 2 vectơ. Hy vọng đã cung cấp cho các bạn những thông tin bổ ích phục vụ cho quá trình học tập và nghiên cứu của bản thân về tích vô hướng của hai vectơ. Chúc bạn luôn học tốt!

Bạn thấy bài viết này hữu ích chứ?

Hãy chọn vào ngôi sao để đánh giá bài viết

Đánh giá trung bình 0 / 5. Lượt đánh giá 0

Hãy là người đầu tiên đánh giá bài viết

Hãy để lại bình luận

Xem nhiều

Bài tin liên quan

1C bằng bao nhiêu µC? Quy đổi từ Microcoulomb sang Coulomb

Khi nhắc đến đơn vị đo điện tích thì...

1 kN bằng bao nhiêu N? Chuyển đổi Kilonewton sang Newton

Bạn đã từng nghe về đơn vị đo lực...

1kg bằng bao nhiêu hg, mg, µg, lb? Cách quy đổi khối lượng nhanh

Kg là đơn vị được ứng dụng nhiều trong...

1 dag bằng bao nhiêu g? Cách quy đổi từ Đềcagam sang Gam

Trên thực tế, đơn vị đo khối lượng decagram...