Tam giác đồng dạng là một kiến thức cơ bản trọng yếu của môn toán lớp 8. Chúng thường được sử dụng trong một số bài tập chứng minh hình học quan trọng. Bài viết này sẽ giúp các bạn hiểu rõ thêm về thế nào là tam giác đồng dạng.
Nội dung bài viết
Tam giác đồng dạng là gì?
Hai tam giác bất kỳ được gọi là đồng dạng với nhau khi chúng có 3 góc tương ứng bằng nhau và các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ theo một tỉ số đồng dạng xác định.
Định lý: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.
Lưu ý: Định lý vẫn đúng khi đường thẳng cắt hai đường kéo dài hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại của tam giác đã cho.
Có thể bạn quan tâm:
- Cách đổi kg sang tấn bằng công cụ chuyển đổi cực chính xác
- Cách đổi giờ ra giây ngắn gọn, đơn giản, dễ hiểu
- Cách đổi inch sang m cực chính xác, nhanh chóng bằng công cụ
Các trường hợp đồng dạng của tam giác
Trường hợp 1 (cạnh – cạnh – cạnh)
Giữa hai tam giác bất kì, nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh tương ứng của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
Ví dụ: Cho tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có: AB/A’B’=AC/A’C’=BC/B’C’
⇒ΔABC ∼ ΔA’B’C’ (c.c.c)
Trường hợp 2 (cạnh – góc – cạnh)
Giữa hai tam giác bất kì, nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh tương ứng của tam giác kia và hai góc tạo bởi hai cạnh của hai tam giác bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng.
Ví dụ: Cho tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có:
AB/A’B’=AC/A’C’ và ∠BAC=∠B’A’C’
⇒ΔABC ∼ ΔA’B’C’ (c.g.c)
Trường hợp 3 (góc – góc – góc)
Giữa hai tam giác bất kì, nếu hai góc trong tam giác này lần lượt bằng với hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng. (Trường hợp này dựa trên lý thuyết tổng ba góc của một tam giác bằng 180o, nên hai góc bằng nhau thì suy ra góc thứ ba cũng bằng nhau).
Ví dụ: Cho tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có:
∠BAC=∠B’A’C’ và ∠ABC=∠A’B’C’
⇒ΔABC ∼ ΔA’B’C’ (g.g)
Tính chất của 2 tam giác đồng dạng
Nếu hai tam giác đồng dạng thì ta có các tính chất sau:
- Tỉ số đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác, bán kính nội tiếp đường tròn, bán kính ngoại tiếp đường tròn, chu vi của hai tam giác bằng với tỉ số đồng dạng.
- Diện tích của hai tam giác có tỉ số bằng với bình phương tỉ số đồng dạng.
Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng
Có 04 cách để chứng minh hai tam giác đồng dạng như sau:
- Sử dụng một trong ba trường hợp đồng dạng của tam giác thích hợp với từng bài toán để chứng minh.
- Áp dụng định lý Talet: Khi có một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác, đồng thời cắt hai cạnh còn lại thì sẽ định ra trên hai cạnh được cắt đó những đoạn thẳng có tỷ lệ tương ứng với nhau.
Ví dụ: Chứng minh tam giác ABC và tam giác AMN với MN là đường thẳng cắt hai cạnh AB và AC đồng dạng, ta chỉ cần chứng minh MN song song với BC đồng thời AM, AN lần lượt tỉ lệ với AB, AC.
- Dùng định nghĩa để chứng minh: hai tam giác có các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ hoặc hai góc xen giữa hai cặp cạnh ấy bằng nhau hoặc hai cặp góc tương ứng bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng.
- Ta có thể dùng trường hợp cạnh-góc-cạnh để chứng minh: nếu hai cạnh của tam giác này lần lượt tỉ lệ với hai cạnh tương ứng của tam giác kia và hai góc tạo bởi tạo các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đồng dạng.
Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Sử dụng tam giác đồng dạng để tính độ dài cạnh, chu vi, tỉ số đồng dạng, số đo góc:
Ta dùng các định nghĩa và định lý đảo được rút ra, định lý Talet, tỉ lệ thức để tính theo đề bài yêu cầu.
Dạng 2: Sử dụng tam giác đồng dạng để chứng minh các yếu tố hình học (hai đường thẳng song song, …)
Ở dạng 2 này, ta có thể sử dụng tỉ lệ thức và định lý Talet đảo để hoàn thành bài toán theo yêu cầu.
Định lý Talet đảo: hai tam giác đồng dạng với thì đáy của tam giác này song song với đáy của tam giác kia, hai cạnh còn lại thì lần lượt tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia.
Bài tập về tam giác đồng dạng có lời giải
Bài 1: Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. M, N lần lượt là trung điểm của BH và AH. Chứng minh rằng: ΔABM ∼ ΔCAN
Giải
- Xét ΔABH và ΔCAH có:
∠BHA = ∠AHC = 90 độ
và ∠BAH = ∠ACH (cùng phụ với góc B)
⇒ ΔABH ∼ ΔCAH (g.g)
⇒ BH/AH=AB/CA
⇒ BM/AN=AB/CA
- Ta lại có ∠HBA = ∠HAC ( cùng phụ với góc C)
Xét ΔABM và ΔCAN có:
BM/AN = AB/CA và ∠HBA = ∠HAC
⇒ ΔABM ∼ ΔCAN (g.c.g)
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền thành 2 đoạn BH = 9cm và HC = 16cm. Tính AB, AC, BC.
Giải
- Xét ΔHAB và ΔHCA:
Ta có: ∠AHB = ∠CHA = 90 độ
và ∠HAB = ∠HCA (cùng phụ với góc B)
⇒ ΔHAB ∼ ΔHCA (g.g)
⇒ HA/HC = BH/AH
⇒ AH^2=BH.CH ⇔ AH^2=9.16 ⇔ AH=12(cm)
- Áp dụng định lý Pytago vào ΔHAB vuông tại H:
AB^2=BH^2+AH^2 ⇔ AB^2 = 9^2 + 12^2 ⇒ AB = 15(cm)
- Áp dụng định lý Pytago vào ΔHCA vuông tại H:
AC^2=AH^2+HC^2 ⇔ AC^2=12^2+16^2 ⇒ AC = 20(cm)
- Ta có BC = BH+HC ⇔ BC = 9+16 = 25(cm)
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 15cm, AC = 20cm. Kẻ đường cao AH.
- Tính AH; BC.
- Tính BH; CH.
Giải
- Ta có ΔABC vuông tại A:
1/(AH)^2=1/(AB)^2 + 1/(AC)^2
⇒ 1/(AH)^2=1/15^2 + 1/20^2
⇒ AH=12(cm)
Áp dụng định lý Pytago trong ΔABC vuông tại A:
⇒ BC^2 = AB^2 + AC^2
⇒ BC^2 = 15^2+20^2
⇒ BC = 25(cm)
2. Xét ΔHAB và ΔHCA:
Ta có: ∠AHB = ∠CHA = 90 độ
và ∠HAB = ∠HCA (cùng phụ với góc C)
⇒ ΔHAB ∼ ΔHCA (g.g)
⇒ AB/AC = BH/AH
⇒ BH=AB.AH/AC
⇒ BH=15.12/20
⇒ BH=9(cm)
⇒ CH=BC-BH=25-9=16(cm)
Bài 4: cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết AB = 21cm; AC = 28cm.
- Tính AH
- Kẻ HD vuông góc với AB; HE vuông góc với AC. Tính diện tích tam giác AED.
Giải
- Áp dụng định lý Pytago trong ΔABC vuông tại A:
⇒ BC^2=AB^2+AC^2
⇒ BC^2=21^2+28^2
⇒ BC=35(cm)
Ta có: AH.BC=AB.AC ⇒AH=AB.AC/BC=21.28/35=16,8(cm)
2. Ta có: ∠HDA = ∠DAE = ∠AEH = 90độ ⇒ Tứ giác AEHD là hình chữ nhật
Áp dụng định lý Pytago trong ΔAHC vuông tại H:
⇒ AC^2 = HA^2+HC^2
⇒ HC^2 = AC^2 – HA^2 = 28^2 – 16,8^2
⇒ HC=22,4(cm) ⇒ HB = BC – HC = 35 – 22,4 = 12,6(cm)
Xét ΔBHA và ΔHCE:
Ta có: ∠AHB = ∠HEC = 90 độ
và ∠HAB = ∠HCA (cùng phụ với góc B)
⇒ ΔBHA ∼ ΔHCE (g.g)
⇒ HB/HE=AB/HC
⇒ HE=HB.HC/AB = 12,6.22,4/21= 13,44 (cm)
Xét ΔAEH và ΔHEC:
⇒ AE/HE = AH/HC
⇒ AE = AH.HE/HC = 16,8.13,44/22,4 = 10,08(cm)
Mà AEHD là hình chữ nhật nên AD=HE=13,44(cm)
Vậy diện tích của tam giác AED vuông tại A:
S = 12AE.AD = 12.10,08.13,44 = 67,7376(cm)
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 16cm, BC = 20cm. Kẻ đường phân giác BD (D thuộc AC)
- Tính CD và AD
- Từ C kẻ CH vuông góc với BD tại H. Chứng minh: Tam giác ABD đồng dạng với tam giác HCD
Giải
- Áp dụng định lý Pytago trong tam giác ABC vuông tại A:
⇒ BC^2 = AB^2+AC^2
⇒ AC^2 = BC^2 – AB^2
⇒ AC^2 = 20^2 – 16^2
⇒ AC = 12(cm)
Vì BD là tia phân giác của góc ABC nên:
AD/DC = AB/BC = (4/5)AD = (4/5)DC
⇒ AD/AC = 4/9
⇒AD = 4/9.AC = 4/9.12 = 16/3(cm)
⇒ CD = AC – AD = 12 – 16/3 = 20/3(cm)
2. Xét ΔABD và ΔHCD có:
∠CHB = ∠DAB = 90 độ
∠HDC = ∠ADB (đối đỉnh)
⇒ ΔABD ∼ ΔHCD(g.g)
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết AB = 15cm, AH = 12cm
- CM: ΔAHB đồng dạng ΔCHA
- Tính các đoạn BH, CH, AC
Giải
- Xét ΔAHB và ΔABC có:
∠AHB = ∠BAC = 90 độ
∠HAB = ∠BCA (cùng phụ góc B)
⇒ ΔAHB ∼ ΔABC (g.g)
Xét ΔAHB và ΔCHA có:
∠AHB = ∠CHA = 90 độ
∠HAB = ∠HCA (∠HCA = ∠BCA)
⇒ ΔAHB ∼ ΔCHA(g.g)
2. Áp dụng định lý Pytago trong tam giác ABH vuông tại H:
AB^2 = AH^2+BH^2
⇒ BH^2 = AB^2 – AH^2
⇒ BH^2 = 15^2 – 12^2
⇒ BH = 9(cm)
Vì ΔAHB ∼ ΔCHA nên:
⇒ AB/AC = BH/AH ⇒ AC=AB.AH/BH ⇒ AC =15.12/9 ⇒ AC = 20(cm)
⇒ AB/AC = AH/HC ⇒HC=AC.AH/AB ⇒ HC=20.12/15 ⇒ HC = 16(cm)
Bài 7: Cho hình thang ABCD (AB //CD). Biết AB = 2,5cm; AD = 3,5cm; BD = 5cm; và góc DAB = DBC.
- Chứng minh hai tam giác ADB và BCD đồng dạng.
- Tính độ dài các cạnh BC và CD.
Giải
- Xét ΔADB và ΔBCD có:
∠DAB = ∠DBC (gt)
∠ABD = ∠BDC (đối đỉnh)
Suy ra ΔADB ∼ ΔBCD (g.g)
2. Vì ΔADB ∼ ΔBCD nên:
⇒ AD/BC = AB/BD ⇒ BC = AD.BD ⇒ AB = 3,5.52,5 = 7(cm)
⇒ AD/BC = BD/CD ⇒ CD = BC.BD/AD = 7.5/3,5 = 10(cm)
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB =15 cm; AC = 20 cm. Kẻ đường cao AH
- Chứng minh: ΔABC đồng dạng ΔHBA từ đó suy ra: AB2=BC.BH
- Tính BH và CH.
Giải
- Xét ΔABC và ΔHBA có:
∠BAC = ∠BHA = 90 độ
∠B chung
Suy ra ΔABC ∼ ΔHBA (g.g)
⇒ AB/HB = BC/AB ⇒ AB^2 = BC.HB (đpcm)
2. Áp dụng định lý Pytago trong ΔABC vuông tại A:
⇒ BC^2 = AB^2 + AC^2
⇒ BC^2 = 15^2 + 20^2
⇒ BC = 25(cm)
Ta có AB^2=BC.HB(cmt)
⇒ BH = AB^2/BC = 15^2/25=9(cm)
⇒ CH = BC-BH = 25-9 =16(cm)
Xem thêm:
- Định nghĩa về số chính phương là gì? Dấu hiệu, Tính chất, Bài tập số chính phương
- Hàm số mũ là gì? Định nghĩa và Tính chất của hàm số mũ
- Số phức là gì? Modun số phức? Bài tập công thức số phức
Trên đây là toàn bộ lý thuyết về tam giác đồng dạng cũng như các ví dụ và bài tập đơn giản, dễ hiểu nhất. Hy vọng bài viết cung cấp cho bạn những thông tin hữu ích và đừng quên theo dõi những bài viết khác tại DINHNGHIA.COM.VN nhé!