Phương trình mũ, Phương trình logarit là gì? Phương pháp giải phương trình mũ và logarit

Phương trình mũ và logarit,  phương trình chứa tham số… là những kiến thức Toán học quan trọng trong chương trình học của các em học sinh trung học phổ thông. Cùng DINHNGHIA.COM.VN tìm hiểu cụ thể về phương trình mũ, phương trình logarit, phương trình mũ khó qua bài viết dưới đây!

Lý thuyết phương trình mũ và logarit

Phương trình mũ là gì?

Phương trình mũ cơ bản có dạng: (a^{x}=b (a>0, aneq 1))

Nghiệm của phương trình mũ

  • Nếu (b>0Rightarrow a^{x}=bLeftrightarrow x=log_{a}b)
  • Nếu (bleqslant 0Rightarrow a^{x}=b) vô nghiệm

Phương trình logarit là gì?

Phương trình logarit cơ bản có dạng: (log_{a}x=b (a>0, aneq 1))

Nghiệm của phương trình logarit

(log_{a}x=bLeftrightarrow x=a^{b} (forall b))

Suy ra phương trình: (log_{a}x=b (a>0, aneq 1)) luôn có nghiệm duy nhất (x=a^{b})

Các phương pháp giải phương trình mũ và logarit cơ bản

Phương pháp đưa về cùng cơ số

Dùng các phép biến đổi về lũy thừa và logarit đưa phương trình về 1 trong các dạng sau (sử dụng phép biến đổi tương đương):

(a^{f(x)}=a^{g(x)}Leftrightarrow a=1) hoặc (left{begin{matrix} 0 & < & aneq 1\ f(x)& = & g(x)\ end{matrix}right.)

Logarit hóa và đưa về cùng cơ số:

Dạng 1: Phương trình (a^{f(x)}=bLeftrightarrow left{begin{matrix} 0 & < &aneq 1,b>0 \ f(x)& = & log_{a}b\ end{matrix}right.)

Dạng 2: Phương trình (a^{f(x)}=b^{g(x)}Leftrightarrow log_{a}a^{f(x)}=log_{a}b^{f(x)}Leftrightarrow f(x)=g(x).log_{a}b)

Hoặc: (log_{b}a^{f(x)}=log_{b}b^{g(x)}Leftrightarrow f(x).log_{b}a=g(x))

Ví dụ: Giải phương trình (2^{x^{2}-x+8}=4^{1-3x})

Giải: phương trình tương đương (2^{x^{2}-x+8}=2^{2(1-3x)})

(Leftrightarrow x^{2}+5x+6=0Leftrightarrow x=-2, x=-3)

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm -2 và -3

Phương pháp đặt ẩn phụ

Đặt một lũy thừa có chứa ẩn ở số mũ hoặc một logarit có chứa ẩn làm ẩn số phụ một cách thích hợp, sau đó sử dụng các tính chất của lũy thừa,logarit để biến đổi pt  về phương trình đối với ẩn số mới, đưa bài toán về việc giải phương trình mới nhận được.

(f[a^{g(x)}]=0 (0<aneq 1)Leftrightarrow left{begin{matrix} t=a^{g(x)} &> & 0\ f(t)& = & 0\ end{matrix}right.)

Dạng 1: Ta có dạng tổng quát của bài toán trên là (F(a^{f(x)})=0)

Đặt (t=a^{f(x)} (t>0)) và chuyển về phương trình F(t)=0, giải phương trình (rightarrow) tìm nghiệm dương t (rightarrow) tìm được x

Dạng thường gặp: (m.a^{f(x)}+n.b^{f(x)}+p=0)

Làm tương tự đối với bất phương trình.

Dạng 2:

(m.a^{f(x)}+n.b^{f(x)}+p=0)

trong đó (ab=1)

Đặt (t=a^{f(x)}, t>0 Rightarrow b^{f(x)}=frac{1}{t})

Dạng 3:(m.a^{2f(x)}+n.(ab)^{f(x)}+p.b^{2f(x)}=0)

Chia 2 vế pt cho (b^{2f(x)}) và đặt (t=(frac{a}{b})^{f(x)}, t>0)

Ta có pt: (mt^{2}+nt+p=0)

Phương pháp logarit hóa

Nếu hai vế phương trình đều phân tích được thành tích các nhân tử dương, có thể logarit hóa 2 vế pt theo cùng một cơ số (phép logarit hóa biến một tích thành một tổng, một thương thành một hiệu). Ta cũng có thể khử logarit bằng cách mũ hóa hai vế pt theo cùng cơ số trên cơ sở dùng tính chất (alog_{a}b=b)

Dạng 1: (a^{g(x)}=f(x) (0<aneq 1)Leftrightarrow left{begin{matrix} f(x) & > & 0\ g(x)& = &log_{a} f(x)\ end{matrix}right.)

Dạng 2: (a^{f(x)}=b^{g(x)}(0<a,bneq 1)Leftrightarrow log_{a}a^{f(x)}=log_{b}b^{g(x)}Leftrightarrow f(x)=g(x).log_{a}b)

Phương pháp sử dụng tính đồng biến hay nghịch biến của hàm số

Ví dụ: Giải phương trình (2x=2-log3x)

Giải:
Dễ thấy x=1 là 1 nghiệm của phương trình
Ta sẽ đi chứng minh rằng x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Thật vậy:

Điều kiện xác định của phương trình là x>0. Trên khoảng này, ta có:

hàm số (y=2x) Đồng biến trong khi hàm số (y=2-log3x)

Nghịch biến

Xét 2 trường hợp:

  • Nếu (x>1Rightarrow log3x>0) và (2x>2) Suy ra (2-log3x<2<2x). Do đó pt vô nghiệm.
  • Nếu (2-log3x<2<2x) và (2x<2) Suy ra (2-log3x>2>2x) Do đó pt vô nghiệm.

Kết luận:  phương trình đã cho chỉ có 1 nghiệm duy nhất x=1

Giải phương trình mũ chứa tham số

Đây là dạng bài tập phương trình mũ khó trong phần phương trình mũ và logarit. Dưới đây trình bày khái quát hai phương pháp dễ hiểu và thông dụng nhất để giải quyết dạng bài toán này.

Phương pháp đặt ẩn phụ (t=a^{f(x)})

Chuyển về phương trình bậc 2, sau đó giải Điều kiện phương trình bậc 2

Phương pháp cô lập tham số (m)

  • Bước 1: (m=f(x)) (hay (m=f(t)))
  • Bước 2: Khảo sát hs (y=f(x)), lập Bảng biến thiên
  • Bước 3: Kết luận.

Trên đây là những thông tin hữu ích về phương trình mũ, phương trình logarit cũng như các dạng bài tập của hai dạng phương trình này.  Nếu có đóng góp bổ sung kiến thức cũng như có bất cứ câu hỏi nào về phương trình mũ và logarit, mời bạn để lại nhận xét bên dưới để chúng mình cùng trao đổi thêm nhé!

Tác giả: Việt Phương

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *