lý thuyết về phương trình logarit Phương trình Logarit cơ bản và nâng cao: Lý thuyết và Bài tập điển hình

Phương trình Logarit và bài tập phương trình logarit có lời giải là chuyên đề thường gặp trong chương trình toán 12. Trong nội dung bài viết dưới đây, hãy cùng DINHNGHIA.COM.VN tìm hiểu cụ thể hơn nhé!. 

Định nghĩa phương trình logarit là gì?

Tìm hiểu về hàm số Logarit

Hàm số Logarit là hàm số có dạng (y=Log_{a}x)
(với cơ số a dương khác 1).
Tính chất của hàm số lôgarit (y=Log_{a}x)
(a> 0, a# 1).
– Tập xác định: (0; +∞).
– Đạo hàm ∀x ∈ (0; +∞), (y’ = frac{1}{x.lna})
– Chiều biến thiên:
+) Nếu a> 1 thì hàm số luôn đồng biến
+) Nếu 0< a &lt; 1 thì hàm số luôn nghịch biến
– Tiệm cận: Trục Oy là tiệm cận đứng.
– Đồ thị nằm hoàn toàn phía bên phải trục tung, luôn cắt trục hoành tại điểm (1;0) và đi qua điểm (a;1).

Xem chi tiết >>> Công thức logarit: Tóm tắt lý thuyết và Các dạng bài tập

Các dạng phương trình Logarit cơ bản

Với điều kiện: (0 < a neq 1), ta có các phương trình logarit cơ bản sau 

  1. (log _{a}x = b Leftrightarrow x = a^{b})
  2. (log _{a}f(x) = log _{a} g(x) Leftrightarrow left{begin{matrix} f(x), g(x) > 0& \ f(x) = g(x) & end{matrix}right.)
  3. (log_{f(x)}g(x) = b Leftrightarrow left{begin{matrix} 0< f(x) neq 1& \ g(x) = f(x)^{2} & end{matrix}right.)
  4. (log _{a} f(x) geq log _{a} g(x)) (*)

Nếu a > 1 thì phương trình (*) (Leftrightarrow left{begin{matrix} f(x) > g(x) & \ g(x) > 0 & end{matrix}right.)

Nếu 0 < a < 1 thì phương trình (*) (Leftrightarrow left{begin{matrix} f(x) < g(x) & \ f(x) > 0 & end{matrix}right.)

Chú ý: (log _{a} f(x)) có nghĩa (Leftrightarrow left{begin{matrix} f(x) > 0 & \ 0 < a neq 1 & end{matrix}right.)

lý thuyết về phương trình logarit Phương trình Logarit cơ bản và nâng cao: Lý thuyết và Bài tập điển hình

Các phương pháp giải phương trình logarit

Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số

Đưa về phương trình mũ cơ bản:

  • (log _{a} x = b Leftrightarrow x = a^{b}, ( 0 < a neq 1))
  • (lg x = b Leftrightarrow x = 10^{b})
  • (ln x = b Leftrightarrow x = e ^{b})

Ví dụ 1:  Giải phương trình: ([latex]log _{2}(3x-4) = 3)[/latex]

Giải: Điều kiện: 3x – 4 > 0 (Leftrightarrow x geq frac{4}{3})

(log_{2}(3x-4) = 3 Leftrightarrow 3x – 4 = 2^{3} Leftrightarrow 3x = 8 + 4 Leftrightarrow x = 4)

Vậy phương trình có nghiệm x = 4

Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ

phương trinfg logarit dạng đưa về cùng cơ số Phương trình Logarit cơ bản và nâng cao: Lý thuyết và Bài tập điển hình

phương trình logarit đưa về cùng ẩn phụ Phương trình Logarit cơ bản và nâng cao: Lý thuyết và Bài tập điển hình

phương trình logarit và các dạng bài tập Phương trình Logarit cơ bản và nâng cao: Lý thuyết và Bài tập điển hình

Ví dụ 2: Giải phương trình: (2^{2x} – sqrt{2^{x} + 6} = 6)

Giải: Đặt: (u = 2^{x}), điều kiện u > 0

Khi đó phương trình thành: (u^{2} – sqrt{u + 6} = 6)

Đặt (v = sqrt{u + 6}), điều kiện (v geq sqrt{6} Rightarrow v^{2} = u + 6)

Khi đó phương trình được chuyển thành hệ: 

(left{begin{matrix} u^{2}=v-6\ v^{2}=u-6 end{matrix}right.) <=> (left{begin{matrix} u^{2}-v=6\ v^{2}-u=6 end{matrix}right.)

(Leftrightarrow u^{2} – v = v^{2} – uLeftrightarrow (u – v)(u + v + 1) = 0)

(Leftrightarrow u – v = 0 hoặc u + v + 1 = 0)

Với u = v ta có: (u^{2} – u – 6 = 0) (Leftrightarrow u = 3 hoặc u = -2)

(Rightarrow u = 3 Rightarrow 2^{x} = 3 Leftrightarrow x = log _{2}3)

Với u + v + 1 = 0 ta được: (u^{2} + u – 5 = 0 Leftrightarrow u = frac{-1 + sqrt{21}}{2} hoặc u = frac{-1 – sqrt{21}}{2})

(Rightarrow u = frac{-1 + sqrt{21}}{2} Rightarrow 2^{x} = frac{-1 + sqrt{21}}{2} Leftrightarrow x =log _{2}frac{-1 + sqrt{21}}{2})

Vậy phương trình có 2 nghiệm là (x = log _{2}3) và (x = log _{2}frac{-1 + sqrt{21}}{2})

Dạng 3: Phương pháp logarit hóa, mũ hóa

Ví dụ 3: Giải phương trình sau: (3^{x}.2^{x^{2}} = 1)

Giải: Lấy Logarit hai vế với cơ số 2, ta được:

(log _{2} (3^{x}2^{2^{x}}) = log_{2}1 Leftrightarrow log _{2}3^{x} + log _{2}2^{x^{2}} = 0 Leftrightarrow x.log _{2}3 + x^{2}.log _{2}2 = 0)

(Leftrightarrow x.log _{2}3 + x^{2} = 0Leftrightarrow x = 0 hoặc log _{2}3 + x = 0) (Leftrightarrow x = 0 hoặc x = – log _{2}3)

Vậy phương trình có 2 nghiệm là x = 0 và (x = – log _{2}3)

Dạng 4: Phương pháp đồ thị để giải phương trình logarit

phương pháp đồ thị để giải phương trình logarit Phương trình Logarit cơ bản và nâng cao: Lý thuyết và Bài tập điển hình

nghiệm duy nhất của (*)

Như vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 7

Trên đây là bài viết tổng hợp kiến thức về Phương trình Logarit, nếu có bất kì thắc mắc hoặc đóng góp cho bài viết, các bạn vui lòng để lại bình luận xây dựng bên dưới để chúng mình hoàn thiện hơn. Nếu thấy hay thì chia sẻ nha <3

Tu khoa lien quan:

  • điều kiện của phương trình logarit
  • tìm nghiệm của phương trình logarit
  • giải bất phương trình logarit khác cơ số

Tác giả: Việt Phương

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *