Tính tích phân, nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số là dạng toán phổ biến nhưng quan trọng trong chương trình toán học THPT. Vậy nguyên hàm là gì? Tích phân là gì? Phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm, tích phân?… Trong bài viết dưới đây, DINHNGHIA.COM.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề này nhé!
Nội dung bài viết
Định nghĩa nguyên hàm là gì?
Nguyên hàm là gì?
Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f nếu F′(x)=f(x) với mọi x thuộc K
Chú ý : Giả sử hàm số F là một nguyên hàm của hàm số f trên K thì khi đó hàm số y=F(x)+C cũng là một nguyên hàm của f trên K với mọi hằng số C
Một số công thức nguyên hàm cơ bản
Dưới đây là một số công thức tính nguyên hàm cơ bản thường được sử dụng:
- ∫0dx=C
- ∫dx=x+C
- ∫x^kdx=x^k+1/k+1+C với k≠1
- ∫1/xdx=ln|x|+C
- ∫a^xdx=a^x/lna+C với 0<a≠1
- Với k là hằng số khác 0:
- ∫sinkxdx=−coskx/k+C
- ∫coskxdx=sinkx/k+C
- ∫e^kxdx=e^kx/k+C
- ∫1/cos2xdx=tanx+C
- ∫1/sin2xdx=−cotx+C
Định nghĩa tích phân là gì?
Tích phân là gì?
Tích phân là một khái niệm toán học và cùng với nghịch đảo của nó vi phân (differentiation) đóng vai trò là 2 phép tính cơ bản và chủ chốt trong lĩnh vực giải tích
Cho F(x) là nguyên hàm của f(x) trong (a, b). Khi đó, tích phân bất định (indefinite integral) được viết như sau:
∫f(x) dx = F(x) + C
Phương pháp tính tích phân
Về lý thuyết có 3 cách tính tích phân cơ bản như sau:
- Tính tích phân bằng phương pháp phân tích.
- Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.
- Tính tích phân bằng phương pháp từng phần.
Bảng tích phân của một số hàm số sơ cấp dựa vào đạo hàm
Phương pháp đổi biến số trong nguyên hàm
Dạng bài thông dụng chính là tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số. Cơ sở của phương pháp này trong nguyên hàm là ta sử dụng định lý:
Cho hàm số u=u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y=f(u)liên tục thỏa mãn f[u(x)] xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của hàm số f thì : ∫f[u(x)]u′(x)dx=F[u(x)]+C
Phương pháp đổi biến số dạng 1
Để tính nguyên hàm hàm số f(x) ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Đặt ẩn t=u(x) trong đó u(x) là một hàm số thích hợp. Khi đó dt=u′(x)dx
Bước 2: Biến đổi ∫f(x)dx=∫g[u(x)].u′(x)dx=∫g(t)dt=G(t)+C
Bước 3: Thay t=u(x) , ta được kết quả
Ví dụ:
Tìm ∫x^3/sqrt(2x^4+3)^3dx:
Cách giải:
Ta có:
x^3/sqrt(2x^4+3)^3dx=1/8.8x^3/sqrt(2x^4+3)^3dx=18.(2×4+3)′sqrt(2x^4+3)^3dx=18.d(2×4+3)/sqrt(2x^4+3)^3
Đặt t=2x^4+3. Khi đó:
∫x3/sqrt(2x^4+3)^3dx=∫1/8.dt/sqrt(t)^3=∫(t^−1/3)/8dt=1/8.3/2.t^2/3+C=3sqrt(t^2)^3/16+C
Thay t=2×4+3 vào ta được :
∫x3/sqrt(2x^4+3)^3dx=3sqrt(2x^4+3)^3/16+C
Phương pháp đổi biến số dạng 2
Để tính nguyên hàm hàm số f(x) ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Đặt x=u(t) trong đó u(t) là một hàm số thích hợp. Khi đó dx=u′(t)dt
Bước 2: Biến đổi ∫f(x)dx=∫f[u(t)]u′(t)dt=∫g(t)dt=G(t)+C
Bước 3: Biến đổi G(t) theo x, ta được kết quả
Ví dụ:
Tìm ∫dx/sqrt(1+x^2)^3
Cách giải:
Đặt x=tant với t∈[−π2;π2]
Khi đó : dx=(tant)′dt=dtcos2t
Vậy ta có :
∫dx/sqrt(1+x^2)^3=∫dt(1+tan2t)^3.cos^2t=∫costdt=sint+C
Vì x=tant nên:
x2=sin2tcos2t=sin2t1−sin2t
⇒x2(1−sin2t)=sin2t⇒sin2t(1+x2)=x2
⇒sint=x/sqrt(1+x^2)
Thay vào ta được : ∫dx(1+x2)3√=x1+x2√+C
Phương pháp đổi biến số trong tích phân
Phương pháp đổi biến số quy về tìm nguyên hàm
Ta áp dụng các cách đổi biến số trong nguyên hàm để tìm nguyên hàm của hàm số. Sau đó tính tính phân theo yêu cầu của đề bài
Ví dụ:
Tìm ∫101−x2dx
Cách giải:
Đặt x=sint với t∈[−π2;π2]
Khi đó dx=(sint)′dt=costdt
Đổi cận: Với x=0⇒t=0 và x=1⇒t=π2
Vậy:
∫1−x2dx=∫1−sin2t=.costdt=∫cos2tdt
=∫cos2t+12dt=sin2t4+t2
Do đó:
∫101−x2dx=sin2t4+t2∣∣∣π20=π4
Phương pháp đổi biến số đặc biệt
Trong một số bài toán tính tích phân I=∫baf(x)dx, ta có thể đặt ẩn phụ: t=(a+b)−x sau đó lợi dụng tính chẵn lẻ của hàm số f(x) để tính toán dễ dàng hơn
Ví dụ:
Tính tích phân I=∫1−1x2018sinxdx
Cách giải:
Ta có:
I=∫1−1x2018sinxdx=∫0−1x2018sinxdx+∫10x2018sinxdx(∗)
Đặt J=∫0−1x2018sinxdx
Đặt t=−x⇒dx=−dt
Đổi cận : x=0⇒t=0 và x=−1⇒t=1
Vậy ta có :
J=∫0−1x2018sinxdx=−∫10(−t)2018.sin(−t).(−dt)=−∫10t2018.sintdt
Thay vảo (∗) ta được: I=0
Xem thêm:
- Định nghĩa về số chính phương là gì? Dấu hiệu, Tính chất, Bài tập số chính phương
- Hàm số mũ là gì? Định nghĩa và Tính chất của hàm số mũ
- Số phức là gì? Modun số phức? Bài tập công thức số phức
Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết về nguyên hàm, tích phân cũng như phương pháp đổi biến số trong nguyên hàm và tích phân. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về phương pháp đổi biến số. Chúc bạn luôn học tốt!
