Đối với các bạn học sinh, mệnh đề là một khái niệm rất quen thuộc trong toán học. Nhưng để giúp các bạn có thể hiểu rõ hơn nữa về khái niệm mệnh đề là gì và một số bài tập liên quan đến khái niệm mệnh đề, thì hãy cùng DINHNGHIA.com.vn tìm hiểu qua bài viết dưới đây nhé!
Nội dung bài viết
Mệnh đề là gì?
Khái niệm
Mệnh đề được hiểu là một câu nhằm khẳng định tính đúng hoặc sai của nó. Do đó, một mệnh đề chỉ có tính chất đúng hoặc sai, không thể vừa đúng vừa sai.
Cụ thể, với một câu khẳng định đúng được gọi là mệnh đề đúng. Ngược lại, với một câu khẳng định sai được gọi là mệnh đề sai. Chỉ có câu khẳng định mới là mệnh đề. Còn các câu cảm thán, cầu khiến hay câu nghi vấn không phải mệnh đề.
- Ví dụ: Cho mệnh đề P:5 là một số chia hết cho 3 => Đây là một mệnh đề sai.
Ký hiệu: Mệnh đề thường được ký hiệu bằng chữ cái in hoa.
Các loại mệnh đề
Mệnh đề chứa biến
Những câu khẳng định mà tính đúng sai của chúng tùy thuộc vào biến (là một hoặc nhiều các yếu tố biến đổi) được gọi là mệnh đề chứa biến.
Ví dụ: Cho mệnh đề P(n) với n là số nguyên tố, n chính là biến vì nó là yếu tố biến đổi. Từ đó ta có: P(2) là mệnh đề đúng; P(6) là mệnh đề sai
=> P(n) được gọi là mệnh đề chứa biến.
Mệnh đề phủ định
Khi ta có một mệnh đề B nào đó thì mệnh đề “không phải B” được gọi là mệnh đề phủ định của B. Ký hiệu là B có dấu gạch ngang trên đầu (như hình minh họa).
- Nếu mệnh đề B đúng thì B (có dấu gạch ngang trên đầu) sẽ là mệnh đề sai và ngược lại.
Ví dụ: Mệnh đề P: tổng 2 cạnh của tam giác lớn hơn cạnh còn lại. Vậy phủ định của mệnh đề P là mệnh đề ?¯ : “Tổng 2 cạnh của tam giác nhỏ hơn cạnh còn lại”, hoặc: “Tổng 2 cạnh của tam giác không lớn hơn cạnh còn lại”.
Mệnh đề kéo theo
Ta có mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P thì Q” là mệnh đề kéo theo. Kí hiệu: P=> Q
Lưu ý: Mệnh đề kéo theo chỉ sai khi P đúng, Q sai.
Ví dụ: Có mệnh đề: Nếu tam giác ABC có 3 góc bằng nhau thì tam giác ABC là tam giác đều.
- Giả thuyết: Tam giác ABC có 3 góc bằng nhau (mệnh đề P)
- Kết luận: Tam giác ABC là tam giác đều (mệnh đề Q).
Mệnh đề đảo – hai mệnh đề tương đương
Mệnh đề đảo
Cho mệnh đề P => Q. Thì mệnh đề Q => P là mệnh đề đảo của P => Q.
Ví dụ: Nếu x là một số nguyên thì x + 5 cũng là một số nguyên. Vậy mệnh đề đảo sẽ là: Nếu x + 5 là một số nguyên thì x cũng là một số nguyên.
Hai mệnh đề tương đương
Thực chất đây là một trường hợp đặc biệt lấy từ mệnh đề đảo. Nếu ta có 2 mệnh đề P và Q liên quan đến nhau, có tính chất đều đúng hoặc đều sai thì ta gọi đây là mệnh đề tương đương. Kí hiệu: P ⬄ Q.
Ví dụ: Mệnh đề A “4 chia hết cho 2” và B “4 là số chẵn”
Ta thấy 2 mệnh đề này đều đúng. Nên nó được phát biểu thành mệnh đề AB: “4 chia hết cho 2 khi và chỉ khi 4 là số chẵn”. Đây là 2 mệnh đề tương đương.
Một số chú ý về mệnh đề
Cần ghi nhớ 2 ký hiệu sau trong mệnh đề toán học:
- Kí hiệu: ∀ – được gọi là với mọi.
- Kí hiệu: ∃ được gọi là tồn tại
Ví dụ: Có ít nhất một n ∈ X (hay tồn tại n ∈ X) để Q(n) là mệnh đề đúng. Vậy kí hiệu là ∃n ∈ X : Q(n).
Ngoài ra, đối với với mệnh đề tương đương ta cần lưu ý rằng: Mệnh đề P và Q tương đương với nhau thì không có nghĩa là nội dung của nó như nhau mà chỉ có thể nói P và Q cùng đúng hoặc cùng sai (hoặc nó cùng nói lên một giá trị chân lý).
Một số dạng bài tập về mệnh đề
Bài 1: Xét xem các phát biểu sau có phải là mệnh đề không? Nếu là mệnh đề thì cho
biết đó là mệnh đề đúng hay sai.
a. Số 1 là số nguyên tố.
b. Hà Nội là thủ đô nước nào?
Đáp án:
a. Đây là một mệnh đề và là mệnh đề đúng, vì nó là câu khẳng định và 1 đúng là số nguyên tố.
b. Đây không phải là một mệnh đề vì nó là câu hỏi.
Bài 2: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề? Phát biểu nào là mệnh đề chứa biến?
a. 2x + 3 = 0
b. Tam giác đều là tam giác cân
c. Số pi có lớn hơn 3 hay không?
Đáp án: Câu a và b là các mệnh đề, trong đó, a là mệnh đề chứa biến x. Câu c không phải mệnh đề vì nó là câu hỏi.
Bài 3: Sử dụng khái niệm “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” phát biểu các định lí sau.
a. Một số có tổng chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và ngược lại.
b. Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức của nó
dương.
Cách giải:
a. Tổng của một số chia hết cho 9 là điều kiện cần để một số chia hết cho 9.
b. Biệt thức của một số dương là điều kiện cần và đủ để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt.
Xem thêm:
- Định nghĩa về số chính phương là gì? Dấu hiệu, Tính chất, Bài tập số chính phương
- Hàm số mũ là gì? Định nghĩa và Tính chất của hàm số mũ
- Số phức là gì? Modun số phức? Bài tập công thức số phức
Vậy là DINHNGHIA.com.vn đã giúp các bạn tìm hiểu xong mệnh đề là gì, và một số ví dụ bài tập thực tế để giúp các bạn dễ hình dung hơn. Mong rằng qua bài viết vừa rồi, các bạn đã có thể nắm được những kiến thức quan trọng cho bài học. Hãy theo dõi DINHNGHIA.com.vn để biết thêm nhiều thông tin thú vị nhé!