Trong chương trình toán học 11, chuyên đề giới hạn của hàm số là phần kiến thức trọng tâm yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức lý thuyết cũng như cách giải các dạng bài tập. Vậy cụ thể giới hạn của hàm số là gì? Lý thuyết, Bài tập và cách tìm giới hạn của hàm số? Thế nào là giới hạn của hàm số vô định? Cách giải dạng toán giới hạn hàm số toán cao cấp?… Trong nội dung chi tiết của bài viết dưới đây, DINHNGHIA.Com.Vn sẽ giúp bạn tìm hiểu về chủ đề này nhé!
Nội dung bài viết
Định nghĩa giới hạn của hàm số là gì?
Lý thuyết giới hạn hàm số lớp 11
Dưới đây là lý thuyết về giới hạn hàm số 11 giúp các em có thể nắm bắt kiến thức:
Giới hạn hữu hạn là gì?
- Giới hạn đặc biệt
limx→ x0x= x0
limx→ x0c= c (c: hằng số)
- Định lý
Giả sử:
limx→ x0f(x)= L,limx→ x0g(x)=M. Khi đó:
- limx→ x0|f(x)+g(x)|= L+M
- limx→ x0|f(x)–g(x)|= L–M
- limx→ x0|f(x).g(x)|= L.M
- limx→ x0f(x)g(x)= LM,M≠0
Nếu f(x) ≥0 và limx→ x0f(x)=L thì L≥ 0 và limx→ x0 √f(x)=√ L
Giới hạn một bên là gì?
- Số L là:
Giới hạn bên phải của hàm số y= f(x) kí hiệu là limx→ +x0f(x)=L
Giới hạn bên trái của hàm số y= f(x) kí hiệu là limx→ −x0f(x)=L
- Định lý: limx→ x0f(x)=L⇔ limx→+x0f(x)=L= limx→ −x0f(x)=L
Giới hạn hữu hạn của hàm số vô cực
Hàm số y= f(x) có giới hạn là số L khi x→ +∞ (hoặc x→−∞) kí hiệu là: limx→+∞ f(x)=L (hoặc limx→ −∞f(x)= L)
Với c,k là hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:
limx→ ±∞ c= c, limx→ ±∞ c/x^k= 0
Giới hạn vô cực của hàm số là gì?
- Giới hạn vô cực
Giới hạn của hàm số tại vô cực là gì?
Hàm số y=f(x) có giới hạn là ±∞ khi x→ ±∞ kí hiệu là limx→ ±∞f(x)=x= ±∞
limx→ +∞f(x)=+∞⇔ limx→+∞|−f(x)|= −∞
- Một số giới hạn đặc biệt:
limx→ +∞ x^k=+∞ với k nguyên dương.
limx→ −∞ x^k=+∞ nếu k chẵn và limx→−∞xk= −∞ nếu k lẻ.
limx→ ±∞c= c
limx→ ±∞ c/x^k= 0
limx→ 0−1/x= −∞
limx→0+1/x=+∞
limx→0− 1|/x|=limx→ 0+=+∞
- Định lý
Ta có định lý:
Các công thức về giới hạn:
limx→∞(1+a/x)^x= ea,(a≠0)
Khi a = 1 ta có:
- limx→ ∞(1+1/x)^x= e(e=2,71828)
- limx→ 0 sinx/x= 1
- limx→ 0 tanx/x= 1
- limx→ 0 arcsinx/x= 1
- limx→ 0 arctan/x= 1
Giới hạn hàm số giải tích lớp 11
Giới hạn hàm số nâng cao
Ví dụ: Ta có bài toán sau:
Cho a1,a2,…,an và b1,b2,…,bm là các số cho trước. Tìm giới hạn sau
L= limx→ +∞ ((√n(x+a1)(x+a2)…(x+an)) – (√m(x+b1)(x+b2)…(x+bm)))
Cách giải:
Bằng phương pháp thêm bớt hạng tử ta có:
L=limx→ +∞[(√n(x+a1)(x+a2)…(x+an)–x)–(√m(x+b1)(x+b2)…(x+bm)–x)]
Từ đó suy ra:
L= 1n∑ni= 1ai–1m ∑mi= 1bi
Tìm giới hạn hàm số bằng máy tính
Ví dụ: Tìm giới hạn của hàm số sau: (−x^2−x+6)/(x^2+3x)
Cách giải:
Các dạng toán về giới hạn hàm số
Dạng 1: Tìm giới hạn xác định bằng cách sử dụng trực tiếp các định nghĩa, định lý
Phương pháp giải:
- Chọn hai dãy số khác nhau (an) và (bn) thỏa mãn an và bn thuộc tập xác định của hàm số y = f(x) và khác (x0); an→ x0,bn→ x0
- Chứng minh limf(an)≠ limf(bn) hoặc chứng minh một trong hai giới hạn này không tồn tại.
- Từ đó suy ra limx→x0f(x) không tông tại. TH x→ ±0 hoặc x→ ±∞ chứng minh tương tự
Ví dụ 1: Cho hàm số f(x)= (x^2+1)/(2√x), limx→ 3f(x) bằng bao nhiêu?
Cách giải:
Hàm số đã cho xác định trên (0;+∞)
Giả sử (xn) là một dãy số bất kỳ, thỏa mãn xn> 0,xn≠3 và xn→ 3 khi n→ +∞. Ta có:
limf(xn)= (limx^2n+1)/ (2√xn) = (3^2+1)/(2√3)=(5√3 )/3(áp dụng quy tắc về giới hạn hữu hạn của dãy số). Do đó limx→ 3f(x)= (5√3)/3
Dạng 2: Tìm giới hạn vô định dạng 0/0
Tính limx→ x0 f(x)/g(x) khi limx→ x0 f(x)= limx→ x0g(x)= 0 trong đó f(x) và g(x) là đa thức hoặc căn thức.
Phương pháp giải:
- Phân tích tử và mẫu thành tích các nhân tử giản ước
- Nếu f(x) và g(x) có chứa căn thức thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp trước khi phân tích chúng thành tích để giản ước
Ví dụ 2: Tìm giới hạn của limx→x1 (xm−xn)/(x−1) (m,n∈ N∗)
Cách giải:
Dạng 3: Tìm lim x→ ±∞ f(x)/g(x) trong đó f(x),g(x)→ ∞
Ví dụ 3: Tìm giới hạn limx→−∞ [(√4x^2−3×4)+3] /[(√x^2+x+1)–x]
Cách giải:
limx→−∞ [(√4x^2−3×4)+3]/ [(√x^2+x+1)–x]=limx→ −∞ [(−√4−3/x+4/x^2)+3] /[(−√1+1/x+1/x^2)−1]
=(−2+3)/(−1−1)=−1/2
Dạng 4: Dạng vô định ∞−∞ và 0.∞
Ví dụ 4: Tìm giới hạn của limx→ +∞ (√x^2–x+1–x)
Cách giải:
Dạng 5: Dạng vô định các hàm lượng giác
Ví dụ 5: Tìm giới hạn của limx→0 (√cosx–3√cosx)/sin^2x
Cách giải:
Giới hạn hàm số dạng vô định là gì?
Bài tập giới hạn hàm số toán cao cấp
Xem thêm:
- Lim là gì? Phương pháp tính và Bài tập về giới hạn lim
- Giới hạn của dãy số lớp 11: Lý thuyết, Bài tập và Các dạng toán
- Tính diện tích hình phẳng: Lý thuyết, Công thức tính và Bài tập
DINHNGHIA.Com.Vn đã tổng hợp kiến thức lý thuyết, bài tập cũng như cách giải các dạng toán giới hạn hàm số. Hy vọng với những chia sẻ trên đây, bạn đã tìm thấy những kiến thức hữu ích cho mình trong việc tìm hiểu và nghiên cứu về chủ đề giới hạn của hàm số. Đừng quên tham khảo bài giảng bên dưới nhé! Chúc bạn luôn học tốt!
