Giới hạn của dãy số là một trong những chủ đề quan trọng nhất trong chương trình môn Toán lớp 11. Cùng DINHNGHIA.COM.VNtìm hiểu về lý thuyết bài giới hạn của dãy số cùng với các bài tập dễ hiểu dưới bài viết này nhé!
Nội dung bài viết
Lý thuyết giới hạn của dãy số
Dãy số có giới hạn 0
- Định nghĩa 1: Dãy số có giới hạn 0 (hay có giới hạn là 0) nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.
Kí hiệu: lim_{u_{n}} = 0 hay u(n) = 0 khi n → +∞.
- Định nghĩa 2: Dãy số v(n) có giới hạn là a (hay v(n) dần tới a khi n → +∞ nếu: lim_{u_{n}} (v(n)-a) =0.
Kí hiệu: lim_{u_{n}} = a hay v(n)→ a khi n → +∞.
Lưu ý:
Dãy số có giới hạn vô cực
Định nghĩa: Ta nói dãy số u(n) có giới hạn là +∞ khi n→+∞, nếu u(n) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: lim_{u_{n}} = +∞ hay u(n)→ +∞ khi n → +∞.
Dãy số u(n) được gọi là có giới hạn –∞ khi n → +∞ nếu lim (-un) = +∞ .
Kí hiệu: lim_{u_{n}} = -∞ hay u(n)→ -∞ khi n → +∞
- Quy tắc tìm giới hạn vô cực: Với lim_{u_{n}} = a ≠ 0 và lim_{v_{n}} = +∞ (hay –∞) thì lim u(n)v(n):
lim u(n) / v(n):
Có thể bạn quan tâm:
- Mét vuông đổi ra mét bằng bao nhiêu? Có đổi được không?
- Cách quy đổi ha sang m2 chính xác bằng công cụ chuyển đổi
- 1 độ bằng bao nhiêu phút, giây, radian? Cách đổi đơn vị độ (góc)
Dãy số có giới hạn hữu hạn
Định nghĩa: Dãy số u(n) có giới hạn là một số thực a khi lim (u(n) – a) = 0.
Kí hiệu: lim_{u_{n}} = a hay u(n) = a khi n → +∞
Định lí:
Nếu lim u(n) = a và lim v(n) = b, thì:
- lim (u(n) + v(n)) = a + b.
- lim (u(n) – v(n)) = a – b.
- lim (u(n).v(n)) = ab.
- lim (u(n)/v(n)) = a/b (nếu b ≠ 0)
Nếu u(n) ≥ 0 với mọi n và lim u(n) = a thì
a > 0 và lim u√n = √a
Các dạng bài tập về giới hạn dãy số
Tìm giới hạn của dãy số
Bài tập:
Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
Bài tập: Tìm lim un biết (un) có giới hạn hữu hạn và (un): u=1
Tính giới hạn của dãy số chứa căn thức
Bài tập:
Tính giới hạn của dãy số hữu tỉ
Bài tập: Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn có dạng 0,32111… Cũng được viết dưới dạng phân số tối giản a/b(a,b là các số nguyên dương). Tính a-b.
Giải
Ta có 0,32111…=32/100 + 1/10^3 + 1/10^4 + 1/10^5 +… = 32/100 + (1/10^3)/(1-(1/10)) =289/900
Vậy a= 289, b= 900. Do đó a – b= 289 – 900 = – 611
Tính giới hạn của dãy số chứa lũy thừa – mũ:
Bài tập: Tìm lim (4^n/(2.3^n+4^n))
Giải
Ta có lim (4^n/(2.3^n+4^n)) = lim ((4^n/4^n)/(2.3^n/4^n+(4^n/4^n))) =lim(1/(2.(3/4)^n+1)) = 1
Tính giới hạn hữu hạn của phân thức
Bài tập: Tính giới hạn của lim ((-2n^3+3n^2+4) / (n^4+4n^3+n))
Giải
Tính giới hạn hữu hạn sử dụng phương pháp liên hợp
Bài tập: Tìm lim ((n – 1 – √(n^2+1))
Tính giới hạn ra vô cực dạng phân thức
Bài tập:
Tính giới hạn sử dụng định lý kẹp
Bài tập:
Giới hạn của tổng vô hạn hoặc tích vô hạn
Bài tập:
Tổng cấp số nhân lùi vô hạn
Bài tập: Tính S=1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +…
Giải
Ta có u(1)=1 và q=12
Nên S = u(1)/(1-q) = 1/(1-1/2) = 2.
Xem thêm:
- Giới hạn của hàm số là gì? Lý thuyết, Bài tập và Cách giải
- Lim là gì? Phương pháp tính và Bài tập về giới hạn lim
- Dãy số cấp số cộng cấp số nhân – Lý thuyết và Cách giải các dạng bài tập
Trên đây là toàn bộ lý thuyết về giới hạn của dãy số cũng như các ví dụ và các bài tập theo các dạng. Hy vọng bài viết cung cấp cho bạn những thông tin hữu ích và đừng quên theo dõi những bài viết khác tại DINHNGHIA.COM.VN nhé!
