Giao điểm là gì? Tính chất và cách vẽ giao điểm trong hình học

Giao điểm là một thuật ngữ định nghĩa điểm chung nơi các đường thẳng, đường cong, hoặc bề mặt gặp nhau, mang tính chất đặc trưng và dễ nhận biết. Cách vẽ giao điểm đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về hình học và kỹ năng xử lý phương trình. Các loại giao điểm từ hình học phẳng đến hình học không gian, phản ánh một phần của thế giới đa chiều mà chúng ta đang khám phá. Cùng DINHNGHIA tìm hiểu giao điểm là gì, tính chất và cách xác định giao điểm trong hình học nhé!

Giao điểm là gì?

Giao điểm trong hình học là điểm hay tập hợp các điểm mà tại đó hai hoặc nhiều đối tượng hình học (đoạn thẳng, tia, đường thẳng, đường cong, mặt phẳng và các hình khối khác nhau khác) cắt nhau hoặc gặp nhau. Khái niệm này có thể mở rộng từ không gian hai chiều (hình học phẳng) đến không gian ba chiều (hình học không gian).

Giao tuyến là đường thẳng được tạo ra bởi sự giao nhau của hai mặt phẳng trong không gian ba chiều. Khi hai mặt phẳng cắt nhau, tất cả các điểm chung của chúng nằm trên một đường thẳng duy nhất, và đường thẳng này được gọi là giao tuyến.

Trong hình học Ơclít, hai đường thẳng có 1 giao điểm chung nếu nó cắt nhau, vô số giao điểm nếu chùng trùng nhau hoặc không có giao điểm nếu chúng song song.

Giao điểm mang ý nghĩa toán học đặc biệt trong việc phân tích các quan hệ hình học và có ứng dụng rộng rãi trong các vấn đề thiết kế, kiến trúc, và nhiều lĩnh vực khác.

Các loại giao điểm hình học có những loại nào?

• Giao điểm giữa hai đường thẳng.

• Giao điểm giữa hai đoạn thẳng.

• Vị trí tương đối hai đường tròn, đường thẳng và đường tròn

• Giao điểm giữa đường thẳng và một mặt phẳng.

• Giao tuyến của 3 mặt phẳng

Tính chất giao điểm

• Tính duy nhất: Trong hệ tọa độ phẳng, nếu hai đường thẳng không song song thì chúng cắt nhau tại duy nhất một điểm gọi là giao điểm.
• Độ chính xác toán học: Giao điểm có thể được xác định bằng cách giải hệ phương trình đại số đại diện cho các đối tượng hình học liên quan. Việc này đòi hỏi sự chính xác tuyệt đối trong các tính toán.
• Tầm quan trọng trong hình học: Giao điểm là mấu chốt trong nhiều bài toán hình học và có ý nghĩa đặc biệt trong nhiều ứng dụng thực tiễn như kiến trúc, kỹ thuật, và thiết kế.
• Tính đồng nhất: Giao điểm không thay đổi khi các đối tượng hình học được chuyển dịch tịnh tiến hoặc quay quanh một điểm cố định.
• Tính đối xứng: Trong một số tình huống, giao điểm có thể thể hiện các tính chất đối xứng của đối tượng hình học. Ví dụ, giao điểm của các đường trung trực trong tam giác chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
• Tính xác định trong không gian ba chiều: Trong không gian ba chiều, giao điểm giữa các đối tượng hình học 3D có thể là điểm, đường thẳng hoặc một mặt phẳng, và việc xác định giao điểm này thường phức tạp hơn so với hình học phẳng.
• Ứng dụng thực tiễn: Giao điểm không chỉ quan trọng trong lý thuyết mà còn có nhiều ứng dụng trong thực tế, từ thiết kế đường xá, xây dựng đến các ứng dụng trong kỹ thuật và công nghệ.

Ví dụ, khi xét đến hai đường thẳng trên mặt phẳng được biểu diễn qua phương trình thông thường, giao điểm của chúng có thể được xác định bằng cách giải hệ phương trình đó. Nếu chúng song song và không cắt nhau, hệ phương trình sẽ không có nghiệm chung. Ngược lại, nếu có một điểm chung, nghiệm của hệ sẽ cho tọa độ của giao điểm đó.

Trong không gian ba chiều, xác định giao điểm giữa ba hoặc nhiều đối tượng hình học đòi hỏi việc giải các hệ đa phương trình. Các phương pháp số học như phương pháp lặp Newton hoặc sử dụng phần mềm toán học tiên tiến cũng có thể giúp xác định chính xác tọa độ giao điểm, từ đó có thể áp dụng vào phân tích kỹ thuật, thiết kế và mô phỏng hình học phức tạp.

Cách xác định giao điểm trong hình học phẳng

Để xác định giao điểm trong hình học phẳng, chúng ta phải giải hệ phương trình đại số của các đối tượng hình học. Phương pháp này thường bao gồm sử dụng đại số tuyến tính, phân tích đồ thị hoặc tính toán vi phân để tìm điểm giao nhau.

Giao điểm của 2 đường thẳng

Lý thuyết về giao điểm hai đường thẳng

+ Cho hai đường thẳng d: y = ax + b và d’: y = a’x + b’ với a≠0 và a’≠0.

• Hai đường thẳng này có duy nhất một điểm chung khi chúng cắt nhau.
• Hai đường thẳng không có điểm chung khi chúng song song.
• Hai đường thẳng có vô số điểm chung khi chúng trùng nhau.

+ Muốn tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng ta làm như sau (d và d’ cắt nhau)

Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và d’.

ax + b = a’x + b’ (1)

Chú ý:

+ Phương trình (1) vô nghiệm thì d // d’.

+ Phương trình (1) luôn đúng với mọi giá trị x thì d và d’ trùng nhau.

+ Với a ≠ a’, phương trình (1) có nghiệm duy nhất.

(1) ⇔ ax − a’x = −b + b’

⇔ x(a − a’) = −b + b’

⇔ x = (−b + b’)/(a − a’)

Ta chuyển qua bước 2

Bước 2: Thay x vừa tìm được vào d hoặc d’ để tính y

Ví dụ thay x vào d⇒y=a.(−b+b’)/(a−a’)+b

Bước 3: Kết luận tọa độ giao điểm.

Bài tập ví dụ về giao điểm hai đường thẳng

Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm của các đường thẳng sau:

a) d: y = 3x – 2 và d’: y = 2x + 1;

b) d: y = 4x – 3 và d’: y = 2x + 1.

Lời giải:

a) Phương trình hoành độ giao điểm của d và d’ là:

3x – 2 = 2x + 1

⇔ 3x − 2x = 1 + 2

⇔ x=3

Thay x = 3 và d ta được:

y = 3.3 − 2 = 9 − 2 = 7

Vậy tọa độ giao điểm của d và d’ là A(3; 7).

b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và d’ là:

4x – 3 = 2x + 1

⇔ 4x − 2x = 3 + 1

⇔ 2x = 4

⇔ x = 2

Thay x vào d ta được:

y = 4.2 − 3 = 5

Vậy tọa độ giao điểm của d và d’ là B(2; 5).

Ví dụ 2: Tìm tham số m để:

a) d: y = 2mx + 5 và d’: y = 4x + m cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1.

b) d: y = (3m – 2)x – 4 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.

Lời giải:

a) Phương trình hoành độ giao điểm của d và d’ là:

2mx + 5 = 4x + m.

Vì hai đường thẳng d và d’ cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1 nên thay x = 1 vào phương trình hoành độ giao điểm ta có:

2m.1 + 5 = 4.1 + m

⇔ 2m + 5 = 4 + m

⇔ 2m − m = 4 − 5

⇔ m = −1

Vậy m = -1 thì d và d’ cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1.

b) Vì d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 nên giao điểm của d với trục hoành là A(3; 0). Thay tọa độ điểm A vào d ta được:

0 = (3m – 2).3 – 4

⇔ 0 = 9m − 6 − 4

⇔ 9m = 10

⇔ m = 10/9

Vậy m = 10/9 thì d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.

Giao điểm của 2 đoạn thẳng

Lý thuyết về giao điểm hai đoạn thẳng

Đối với hai đoạn thẳng không song song (x1,y1),(x2,y2) và (x3,y3),(x4,y4) không nhất thiết phải có điểm giao nhau, vì điểm giao nhau (?0,?0) của các dòng tương ứng không cần phải chứa trong các đoạn đường. Để kiểm tra tình huống, người ta sử dụng biểu diễn tham số của các đường:

(x(s),y(s)) = (?1 + ?(?2 − ?1),?1 + ?(?2 − ?1)),

(?(?),?(?)) = (?3 + ?(?4 − ?3), ?3 + ?(?4 − ?3)).

Các đoạn thẳng chỉ cắt nhau ở một điểm chung (?0,?0) của các dòng tương ứng nếu các tham số tương ứng ?0,?0 thỏa mãn điều kiện 0≤?0, ?0≤1. Những thông số ?0, ?0 là nghiệm của hệ tuyến tính:

?(?2 − ?1) − ?(?4 − ?3) = ?3 − ?1,

?(?2 − ?1) − ?(?4 − ?3) = ?3 − ?1.

Nó có thể được giải quyết cho s và t bằng cách sử dụng quy tắc Cramer. Nếu điều kiện 0≤?0, ?0≤1 được thực hiện một lần chèn ?0 hoặc ?0 vào biểu diễn tham số tương ứng và lấy điểm giao nhau (?0,?0).

Bài tập ví dụ về giao điểm hai đoạn thẳng

Ví dụ: Đối với đoạn thẳng (1,1), (3,2) và (1,4), (2,−1) người ta có được hệ thống tuyến tính:

2? − ? = 0

? + 5? = 3

Và ?0=3/11, ?0=6/11. Nghĩa là: các đường thẳng cắt nhau tại điểm (17/11,14/11).

Nhận xét: Xét đường thẳng, thay vì phân đoạn, xác định theo cặp điểm, mỗi điều kiện 0≤?0, ?0≤1 có thể được loại bỏ và phương thức mang lại điểm giao nhau của các đường.

Vị trí tương đối của hai đường tròn, đường thẳng và đường tròn

Lý thuyết về vị trí tương đối của 2 đường tròn, đường thẳng và đường tròn

+ Vị trí tương đối của hai đường tròn: Cho hai đường tròn (C1): tâm I1; bán kính R1 và đường tròn (C2): Tâm I2 bán kính R2.

• Nếu I1I2 > R1 + R2 thì hai đường tròn không có điểm chung .
• Nếu I1I2 = R1 + R2 thì hai đường tròn tiếp xúc ngoài
• Nếu I1I2 = |R1 – R2 | thì hai đường tròn tiếp xúc trong.
• Nếu R1 – R2 < I1I2 < R1 + R2 thì hai đường tròn cắt nhau ( với R1 > R2) .

+ Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn: Cho đường thẳng d và đường tròn ( C): tâm I; bán kính R.

• Nếu d( I; d) = R thì đường thẳng tiếp xúc với đường tròn.
• Nếu d( I; d) > R thì đường thẳng và đường tròn không có điểm chung.
• Nếu d(I; d) < R thì đường thẳng và đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Ví dụ minh họa vị trí tương đối của 2 đường tròn, đường thẳng và đường tròn

Ví dụ 1: Tìm giao điểm 2 đường tròn ( C1) : x² + y² – 4 = 0 và (C2) : x² + y² – 4x – 4y + 4 = 0.

• A. (√2; √2) và (√2; – √2)
• B. (0 ; 2) và (0 ; – 2)
• C. (2 ; 0) và (0 ;2)
• D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Tọa độ giao điểm của 2đường tròn đã cho thỏa mãn hệ phương trình:

Vậy giao điểm A(0; 2) và B( 2; 0).

Chọn C.

Ví dụ 2: Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường tròn (C₁) : x² + y²= 4 và đường tròn
(C₂) : (x + 10)² + (y – 16)² = 1.

• A. Cắt nhau
• B. Không cắt nhau
• C. Tiếp xúc ngoài
• D. Tiếp xúc trong

Hướng dẫn giải

+ Đường tròn (C₁) có tâm và bán kính: I₁ (0; 0) và R₁ = 2

+ Đường tròn (C₂) có tâm và bán kính: I₂(-10;16) và R₂ = 1.

Khoảng cách giữa hai tâm I₁I₂ = √(x² + y²) = 2√89 > R₁ + R_2.

Vậy (C₁) và (C₂) không có điểm chung.

Chọn B.

Ví dụ 3: Tìm giao điểm 2 đường tròn (C₁) : x² + y² – 2 = 0 và (C₂) : x² + y² – 2x = 0

• A. (2;0) và (0;2)
• B. (√2;1) và (1;-√2)
• C. (1;- 1) và (1;1)
• D. ( – 1;0) và (0;- 1)

Hướng dẫn giải

Giao điểm nếu có của hai đường tròn đã cho là nghiệm hệ phương trình:

Vậy hai giao điểm là A(1;1) và B(1;- 1) .

Chọn C.

Ví dụ 4: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng ∆: y = x và đường tròn (C): x² + y² – 2x = 0 .

• A. ( 0; 0)
• B. (0; 0) và (1;1)
• C. (2; 0)
• D. (1;1)

Hướng dẫn giải

Giao điểm nếu có của đường thẳng ∆ và đường tròn (C) là nghiệm hệ phương trình:

Vậy đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm là A( 0; 0) và B (1; 1).

Chọn B.

Ví dụ 5 : Tọa độ giao điểm của đường tròn (C) : x² + y² – 2x – 2y + 1 = 0 và đường thẳng
∆ :

• A. (1;2) và (2;1)
• B. (1;2) và (1/5;2/5).
• C. (2;5)
• D. (1; 0) và (0;1)

Hướng dẫn giải

Thế

vào (C) ta có:

( 1 + t)² + ( 2 + 2t)² – 2( 1 + t) – 2( 2 + 2t) + 1 = 0

⇔ 1 + 2t + t² + 4 + 8t + 4t² – 2 – 2t – 4 – 4t + 1 = 0

⇔ 5t² + 4t = 0

⇔

Chọn B.

Ví dụ 6: Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường tròn (C₁): x² + y² = 4 và đường tròn (C₂): (x – 3)² + (y – 4)² = 25.

• A. Không cắt nhau
• B. Cắt nhau
• C. Tiếp xúc ngoài
• D. Tiếp xúc trong

Hướng dẫn giải

Đường tròn ( C₁) có tâm I₁( 0; 0) và bán kính R₁ = 2

Đường tròn ( C₂) có tâm I₂(3; 4) và bán kính R₂ = 5

Khoảng cách hai tâm I₁I₂ = √(3 – 0)² + (4 – 0)² = 5.

Ta có: R₂ – R₁ = 3 < I₁I₂ = 5 < R₂ + R₁ = 7 nên 2 đường tròn trên cắt nhau.

Chọn B.

Ví dụ 7: Đường tròn (C): x² + y² – 2x – 2y – 23 = 0 cắt đường thẳng d: x + y – 2 = 0 theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?

• A. 10
• B. 8
• C. 6
• D. 3√2

Hướng dẫn giải

+ Đường tròn (C) có tâm I(1; 1) và bán kính R= 5.

+ Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d là: d(I,d) = |1+1-2|/√2 = 0

⇒ Điểm I thuộc đườngthẳng d nên đường thẳng (d) cắt đường tròn (C) tại hai điểm M và N trong đó MN là đường kính của đường tròn.

⇒ MN = 2R = 10

Vậy đường thẳng d cắt đường tròn( C) theo một dây cung có độ dài là 10.

Chọn A.

Ví dụ 8: Cho đương tròn (C₁) có tâm I₁(1; 0); bán kính R₁ = 1 và đường tròn (C₂) có tâm I₂(-5;8), bán kính R₂ = 11. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (C₁) và ( C₂)?

• A. Tiếp xúc ngoài
• B. Tiếp xúc trong
• C. Cắt nhau
• D. Không cắt nhau

Hướng dẫn giải

+ Khoảng cách hai tâm là: I₁I₂ = √(1 + 5)² + (0 – 8)²= 10

⇒ I₁I₂ = R₂ – R₁ = 10

⇒ Hai đương thẳng đã cho tiếp xúc trong.

Chọn B.

Ví dụ 9: Cho đương tròn (C₁) có tâm I₁(2; – 3); bán kính R₁ = 3 và đường tròn (C₂) có tâm I₂(4; 7), bán kính R₂ = 6. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (C₁) và ( C₂)?

• A. Tiếp xúc ngoài
• B. Tiếp xúc trong
• C. Cắt nhau
• D. Không cắt nhau

Hướng dẫn giải

+ Khoảng cách hai tâm là: I₁I₂ = √(4 – 2)² + (7 + 3)² = √104

⇒ I₁I₂ > R₂ + R₁ = 9

⇒ Hai đường tròn đã cho không cắt nhau.

Chọn D.

Ví dụ 10: Cho đường tròn (C): x² + y² – 2x + 4y = 0. Đường thẳng d: 2x – y + m = 0. Tìm m để đường thẳng d cắt đường tròn?

• A. – 7 < m < 1
• B. – 9 ≤ m ≤ 1
• C. – 9 < m < 1
• D. – 9 < m ≤ 1

Hướng dẫn giải

+ Đường tròn (C) có tâm I (1;-2) và bán kính R = √1+4 = √5

+ Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d:

d(I;d) = |2.1 + 2|/√2² + (-1)² = |4 + m|/√5

+ Để đường thẳng cắt đường tròn khi và chỉ khi đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau hoặc cắt nhau nên:

d(I; d) ≤ R

⇔ |4 + m|/√5 ≤ √5

⇔ |4 + m| ≤ 5

⇔ -5 ≤ 4 + m ≤ 5 ⇔ -9 ≤ m ≤ 1

Vậy để đường thẳng d cắt đường tròn khi -9 ≤ m ≤ 1

Chọn B.

Bài tập về vị trí tương đối của 2 đường tròn, đường thẳng và đường tròn

Câu 1: Tìm giao điểm 2 đường tròn (C₁): x² + y² – 4 = 0 và
(C₂): x² + y² – 4x – 4y + 4 = 0

• A. (√2;√2) và (√2;-√2)
• B. (0;2) và (0;-2)
• C. (2;0) và (0;2)
• D. (2;0) và (-2;0)

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giao điểm của hai đường tròn đã cho là nghiệm hệ phương trình:

Vậy giao điểm A(0;2) và B(2;0)

Câu 2: Tìm toạ độ giao điểm hai đường tròn (C₁): x² + y² = 5 và (C₂): x² + y² – 4x – 8y + 15 = 0

• A. (1; 2) và (√2;√3)
• B. (1;2) và (-2 ;1)
• C. (1;2) và (√3;√2)
• D. (1;2)

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giao điểm nếu có của hai đường tròn đã cho là nghiệm hệ phương trình:

Vậy toạ độ giao điểm là (1;2).

Câu 3: Đường tròn (C): (x – 2)² + (y – 1)² = 25 không cắt đường thẳng nào trong các đường thẳng sau đây?

• A. Đường thẳng đi qua điểm (2;6) và điểm (-1;2)
• B. Đường thẳng có phương trình y – 4 = 0.
• C. Đường thẳng đi qua điểm (3;-2) và điểm (19;33) .
• D. Đường thẳng có phương trình x – 8 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Đường tròn có tâm và bán kính là I(2;1) và bán kính R = 5.

Xét khoảng cách d từ tâm I đến từng đường thẳng và so sánh với R. Nếu d > R thì đường tròn không cắt đường thẳng.

* Đường thẳng (a) đi qua điểm (2;6) và điểm (-1;2) nhận vector u (3;4) làm VTCP nên nhận vector n (4;-3) làm VTPT

⇒ Phương trình ( a) : 4( x – 2) – 3( y – 6) = 0 hay 4x – 3y + 10 = 0

⇒ d(I;a) = |4.2 – 3.1 + 10|/√4² + (-3)² = 15/5 = 3 < R

⇒ Đường tròn (C) cắt đường thẳng này .

* ∆₂: y – 4 = 0

⇒ khoảng cách d(I, ∆₂) = 3 < R ⇒ (C) cắt ∆₁

* Đường thẳng (b) đi qua điểm (3;-2) và điểm (19;30) nhận VTCP vector u (16;32) nên nhận VTPT là vector n (2;-1)

⇒ Phương trình (b): 2( x – 3) – 1(y + 2) = 0 hay 2x – y – 8 = 0

⇒ d(I;b) = |2.2 – 1 – 8|/√2² + (-1)² = 5/√5 = √5 < R

⇒ Đường tròn (C) có căt đường thẳng (b).

*∆₄: x – 8 = 0 ⇒ khoảng cách d(I, ∆₄) = 6 < R ⇒ (C) không cắt ∆₄.

Câu 4: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng ∆: x – 2y + 3 = 0 và đường tròn
(C): x² + y² – 2x – 4y = 0

• A. (3;3) và (-1;1)
• B. (-1;1) và (-3;3)
• C. (3;3) và (1;2)
• D. (2;1) và (2;-1)

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình sau

Vậy tọa độ giao điểm là (3; 3) và (-1;1).

Câu 5: Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường tròn (C₁): x² + y² – 4x = 0 và (C₂): x² + y² + 8y = 0.

• A. Tiếp xúc trong
• B. Không cắt nhau
• C. Cắt nhau.
• D. Tiếp xúc ngoài.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Đường tròn (C₁): x² + y² – 4x = 0 có tâm I₁(2; 0) và bán kính R₁ = 2.

Đường tròn (C₂): x² + y² + 8y = 0 có tâm I₂(0;-4) và bán kính R₂ = 4.

Khoảng cách hai tâm : I₁I₂ = √(0 – 2)² + (-1 – 0)² = 2√5

Ta có R₂ – R₁ < I₁I₂ = 2√5 < R₂ + R₁ nên hai đường tròn cắt nhau.

Câu 6: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng ∆: x + y – 7 = 0 và đường tròn (C): x² + y² – 25 = 0.

• A. (3;4) và (-4;3)
• B. (4;3)
• C. (3;4)
• D. (3;4) và (4;3)

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giao điểm nếu có của đường thẳng và đường tròn là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm là (4;3) và (3;4)

Câu 7: Đường tròn x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0 cắt đường thẳng (d): x – y – 3 = 0 theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?

• A. 5
• B. 2√23
• C. 10
• D. 5√2

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

+ Đường tròn (C) có tâm I(2;-3) và bán kính R = 5.

+ Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d là:

d(I, d) = |2 + 3 – 3|/√2 = 2/√2 = √2 < R

⇒ đường thẳng (d) cắt đường tròn (C) tại hai điểm M và N.

+ Gọi H là hình chiếu của I lên MN. Khi đó, H là trung điểm của MN ( quan hệ đường kính vuông góc với dây) .

+ Ta có IH = d(I, d) = √2

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác MIH ta có

MI² = IH² + HM² ⇒ 5² = 2 + HM² ⇒ HM² = 23 nên HM= √23

Do H là trung điểm của MN nên MN = 2HM = 2√23

Câu 8: Đường tròn (C) : (x – 2)² + (y – 1)² = 25 không cắt đường thẳng nào trong các đường thẳng sau đây?

• A. Đường thẳng đi qua điểm (2;6) và điểm (45;50)
• B. Đường thẳng có phương trình y – 4 = 0
• C. Đường thẳng đi qua điểm (3;-2) và điểm (19;33)
• D. Đường thẳng có phương trình x – 8 = 0

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Đường tròn có tâm và bán kính là: I(2;1) và R = 5.

Xét khoảng cách d từ tâm I đến từng đường thẳng và so sánh với R:

* Đường thẳng đi qua điểm (2 ;6) và điểm (45 ; 50) : ∆₁: 44x – 43y + 170 = 0

⇒ khoảng cách d(I; ∆₁) = 215/√3785 < R nên (C) cắt ∆₁

* ∆₂ : y – 4 = 0 ⇒ khoảng cách d(I; ∆₂) = 3 < R nên (C) cắt ∆₂

* Đường thẳng đi qua điểm (3;-2) và điểm (19;33): ∆₃ : 35x – 16y – 137 = 0

⇒ khoảng cách d(I; ∆₁) = 116/√1481 < R ⇒ (C) cắt ∆₃

* ∆₄ : x – 8 = 0 ⇒ khoảng cách d(I; ∆₄) = 6 > R nên (C) không cắt ∆₄

Câu 9: Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường tròn (C₁): x² + y² = 4 và (C₂): (x + 10)² + (y – 16)² = 1.

• A. Cắt nhau
• B. Không cắt nhau
• C. Tiếp xúc ngoài
• D. Tiếp xúc trong

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Đường tròn (C₁) có tâm và bán kính: I₁ = (0; 0) , và R₁ = 2; (C₂) có tâm I₂ ( – 10; 16) và bán kính R₂ = 1; khoảng cách giữa hai tâm I₁I₂ = √10² + 16² = 2√89 > R₁ + R₂ .

Vậy 2 đường tròn đã cho không có điểm chung.

Câu 10: Đường tròn nào dưới đây đi qua điểm A(4;-2)

• A. x² + y² – 2x + 6y = 0
• B. x² + y² – 4x + 7y – 8 = 0
• C. x² + y² – 6x – 2y + 9 = 0
• D. x² + y² + 2x – 20 = 0

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Thế tọa độ của điểm A vào phương trình đường tròn x² + y² – 2x + 6y = 0.

Ta có:

4² + ( -2)² – 2.4 + 6.( -2) = 0

⇒ Điểm A thuộc đường tròn.

Câu 11: Cho đương tròn (C₁) có tâm I₁(3;4); bán kính R₁ = 5 và đường tròn (C₂) có tâm I₂(7;1), bán kính R₂ = 10. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (C₁) và (C₂)?

• A. Tiếp xúc ngoài
• B. Tiếp xúc trong
• C. Cắt nhau
• D. Không cắt nhau

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

+ Khoảng cách hai tâm là: I₁I₂ = √(7 – 3)² + (1 – 4)² = 5

⇒ I₁I₂ = R₂ – R₁ = 5

⇒ Hai đường thẳng đã cho tiếp xúc trong.

Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho điểm B(2;4). Hãy xác định vị trí tương đối của đường tròn (B;3) với hai trục Ox; Oy.

Bài 2: Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau cách nhau một khoảng là 4 cm. Lấy điểm O trên a vẽ đường tròn (O; 4cm). Chứng minh O tiếp xúc với b.

Bài 3: Cho hai đường thẳng d₁ và d₂ song song với nhau và cách nhau một khoảng 6cm. Vẽ đường tròn (O; 4cm) có tâm O nằm trên đường thẳng song song với d₁ và d₂ cách d₁ là 4cm và cách d₂ là 2cm. Chứng minh (O; 4cm) tiếp xúc với d₁ và cắt d₂.

Bài 4: Cho hai đường thẳng d₁ và d₂ song song với nhau cách nhau một khoảng 6 cm. Một đường tròn tâm O tiếp xúc với cả hai đường thẳng d₁ và d₂. Hỏi tâm O nằm trên đường nào?

Bài 5: Cho hình vuông ABCD. Trên đường chéo BD lấy H sao cho BH = AB. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với BD cắt AD cắt AD tại O.

a) So sánh OA; OH và HD.

b) Xác định vị trí tương đối của BD với (O; OA).

Cách xác định giao điểm trong hình học không gian

Mặt khác, trong hình học không gian, việc xác định giao điểm yêu cầu việc giải hệ phương trình với ba biến, hoặc sử dụng các phương pháp hình học đường cong và đối tượng hình học không gian. Với mỗi loại giao điểm, có các thuật toán và phương pháp riêng được phát triển để mô tả và giải quyết các vấn đề liên quan. Trong một số trường hợp, phần mềm máy tính và công cụ đồ họa máy tính cũng được sử dụng để hỗ trợ tìm ra giao điểm chính xác và hiệu quả.

Giao điểm 1 đường thẳng và 1 mặt phẳng

Lý thuyết về giao điểm 1 đường thẳng và 1 mặt phẳng

Muốn tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P), có hai cách làm như sau:

* Cách 1:

+ Những bài đơn giản, có sẵn một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và một đường thẳng a nào đó thuộc mặt phẳng (P)

+ Trong mp( Q), 2 đường thẳng a và d cắt nhau tai điểm A. Khi đó điểm A chính là giao điểm của đường thẳng d và mp(P)

* Cách 2: Chọn mặt phẳng phụ:

+ Tìm một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d, sao cho dễ dàng tìm giao tuyến của mp (Q) với mp (P)

+ Tìm giao tuyến của mp(P) và (Q) – gọi là đường thẳng d.

+ Tìm giao điểm của đường thẳng a và đường thẳng d – gọi là điểm A

Khi đó: điểm A chính là giao điểm của đường thẳng d và mp (P)

Ví dụ minh họa giao điểm 1 đường thẳng và 1 mặt phẳng

Ví dụ 1: Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng và không có 3 điểm nào thẳng hàng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD. Giao điểm của đường thẳng CD và mp(MNP) là giao điểm của

• A. CD và NP
• B. CD và MN
• C. CD và MP
• D. CD và AP

Hướng dẫn giải

Cách 1:

+ Chọn mặt phẳng phụ chứa CD là mp(BCD)

+ Do NP không song song CD nên NP cắt CD tại E

Điểm E ∈ NP nên E ∈ (MNP)

⇒ giao điểm của CD và mp(MNP) là điểm E.

Chọn A.

Cách 2:

+ Ta có : NP ⊂ (BCD)

⇒ NP và CD đồng phẳng

+ Gọi E là giao điểm của NP và CD mà NP ⊂ ( MNP)

suy ra CD ∩ (MNP) = E

Vậy giao điểm của CD và mp (MNP) là giao điểm E của NP và CD.

Chọn A.

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD; G là trọng tâm tam giác BCD. Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là:

• A. Điểm F
• B. Giao điểm của đường thẳng EG và AF
• C. Giao điểm của đường thẳng EG và AC
• D. Giao điểm của đường thẳng EG và CD

Hướng dẫn giải

+ Vì G là trọng tâm tam giác BCD; F là trung điểm của CD nên G ∈ BF ⊂ (ABF)

+ Ta có E là trung điểm của A B nên E ∈ (ABF).

+ chọn mp phụ chứa EG là (ABF).

Dễ dàng tìm được giao tuyến của (ACD) và (ABF) là AF.

+ Trong mp(ABF); gọi M là giao điểm của EG và AF .

Vậy giao điểm của EG và mp(ACD) là giao điểm M của EG và AF

Chọn B.

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC. Gọi I là giao điểm của AM với mp (SBD) . Tìm mệnh đề đúng?

• A. Vector IA = Vector -2IM
• B. Vector IA = Vector –3IM
• C. Vector IA = Vector 2IM
• D. Tất cả đều sai

Hướng dẫn giải

+ Gọi O là tâm hình bình hành ABCD suy ra O là trung điểm của AC.

+ Nối AM cắt SO tại I mà SO ⊂ (SBD)

Suy ra I = AM ∩ (SBD).

+ Tam giác SAC có M; O lần lượt là trung điểm của SC và AC

Mà I là giao điểm của AM và SO.

⇒ I là trọng tâm tam giác SAC

⇒ AI = 2/3 AM và IA = 2.IM

Lại có điểm I nằm giữa A và M suy ra: IA→ = -2IM→

Chọn A.

Ví dụ 4: Cho tứ giác ABCD có AC và BD giao nhau tại O; điểm S không thuộc mp(ABCD). Trên đoạn SC; lấy 1 điểm M không trùng với S và C. Gọi K là giao điểm của SO và AM. Giao điểm của đưởng thẳng SD và mp( ABM) là :

• A. Giao điểm của SD và AB
• B. Giao điểm của SD và AM
• C. Giao điểm của SD và BK
• D. Giao điểm của SD và MK

Hướng dẫn giải

+ Chọn mặt phẳng phụ chứa SD là mp(SBD)

+ Ta tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBD) và (ABM)

Ta có: B ∈ (SBD) ∩ (ABM) (1)

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi O là giao điểm của AC và BD .

Trong mặt phẳng (SAC), gọi K là giao điểm của AM và SO.

Ta có:

– K ∈ SO ⊂ (SBD)

– K ∈ AM ⊂ (ABM)

⇒ K ∈ (SBD) ∩ (ABM) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: giao tuyến của (ABM) và (SBD) là BK

+ Trong mặt phẳng (SBD), gọi N là giao điểm của SD và BK

⇒ N là giao điểm của SD và mp (ABM)

Chọn C.

Ví dụ 5: Cho 4 điểm A, B, C và S không cùng thuộc 1 mặt phẳng. Gọi I và H lần lượt là trung điểm của SA và AB. Trên SC lấy điểm K sao cho IK không song song với AC. Gọi E là giao điểm của đường thẳng BC với mp(IHK). Chọn mệnh đề đúng?

• A. Điểm E thuộc tia BC
• B. Điểm E thuộc tia CB
• C. Điểm E nằm trong đoạn BC
• D. Điểm E nằm giữa B và C

Hướng dẫn giải

+ Chọn mặt phẳng phụ chứa BC là mp (ABC)

+ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và (IHK)

– H ∈ (ABC) ∩ (IHK)    (1)

Trong mặt phẳng (SAC), do IK không song song với AC nên gọi giao điểm của IK và AC là F. Ta có

– F ∈ AC ⊂ (ABC)

– F ∈ IK ⊂ (IHK)

Suy ra: F ∈ (ABC) ∩ (IHK)    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: HF = (ABC) ∩ (IHK)

+ Trong mặt phẳng (ABC), gọi E là giao điểm của HF và BC

Ta có

– E ∈ HF ⊂ (IHK)

– E ∈ BC

⇒ giao điểm của BC và (IHK) là E.

Chọn D.

Ví dụ 6: Cho bốn điểm A, B, C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên AB; AD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho MN cắt BD tại I . Điểm I không thuộc mặt phẳng nào sao đây:

• A. (BCD)
• B. (ABD)
• C. (CMN)
• D. (ACD)

Hướng dẫn giải

+ Do I là giao điểm của MN và BD nên:

I ∈ BD ⇒ I ∈ (BCD), (ABD)

I ∈ MN ⇒ I ∈ (CMN)

Chọn D.

Ví dụ 7: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, M là một điểm trên cạnh SC, N là trên cạnh BC. Gọi O = AC ∩ BD, J = AN ∩ BD và gọi I = SO ∩ AM. Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN)

• A. là giao điểm của SD và SI
• B. là giao điểm của SD và BJ
• C. Là giao điểm của SD và MI
• D. là giao điểm của SD và IJ

Hướng dẫn giải

Trong mp (SBD), gọi K = IJ ∩ SD

Ta có I ∈ AM ⊂ (AMN), J ∈ AN ⊂ (AMN)

⇒ IJ ⊂ (AMN)

Do đó K ∈ IJ ⊂ (AMN) ⇒ K ∈ (AMN)

Vậy K = SD ∩ (AMN)

Chọn D.

Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB. Gọi I, K là 2 điểm trên SA; BC. Gọi E là giao điểm của AK và BD; O là giao điểm của AC và BD. Tìm giao điểm của IK với (SBD) ?

• A. Là giao điểm của IK và SO
• B. Là giao điểm của IK và DO
• C. Là giao điểm của IK và SE
• D. Là giao điểm của IK và BE

Hướng dẫn giải

+ Chọn mp(SAK) chứa IK. Tìm giao tuyến của (SAK) và (SBD)

Có S ∈ (SAK) ∩ (SBD)    (1)

+ Trong mp(ABCD) có:

+ Từ (1) và (2) suy ra (SAK) ∩ (SBD) = SE

+ Trong mp(SAK) gọi

Vậy giao điểm của IK và (SBD) là giao điềm của IK và SE

Chọn C.

Ví dụ 9: Cho tứ diện ABCD. Các điểm P; Q lần lượt là trung điểm của AB và CD; điểm R nằm trên cạnh BC sao cho BR = 2RC. Gọi S là giao điểm của mặt phẳng (PQR) và cạnh AD. Tính tỉ số: SA/SD

• A. 2
• B. 1
• C. 1/2
• D. 1/3

Hướng dẫn giải

+ Gọi I là giao điểm của BD và RQ. Nối P với I; cắt AD tại S

+ Xét tam giác BCD bị cắt bởi IR, ta có

+ Xét tam giác ABD bị cắt bởi PI ta có:

Chọn A.

Ví dụ 10: Cho tứ diện ABCD và ba điểm P; Q: R lần lượt lấy trên ba cạnh AB; CD; BC. Cho PR// AC và CQ = 2.QD. Gọi giao điểm của AD và (PQR) là S. Chọn khẳng định đúng?

• A. AD = 3 DS
• B. AD = 2 DS
• C. AS = 3 DS
• D. AS = DS

Hướng dẫn giải

+ Gọi I là giao điểm của BD và RQ. Nối P với I; cắt AD tại S

+ Vì PR song song với AC suy ra:

⇒ AD = 3.DS

Chọn A.

Bài tập về giao điểm 1 đường thẳng và 1 mặt phẳng

Câu 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy ABCD có các cạnh đối diện không song song với nhau và M là một điểm trên cạnh SA. Tìm giao điểm của đường thẳng SB với mặt phẳng (MCD).

• A. Điểm H, trong đó E = AB ∩ CD, H = SA ∩ EM
• B. Điểm N, trong đó E = AB ∩ CD, N = SA ∩ EM
• C. Điểm F, trong đó E = AB ∩ CD, F = SA ∩ EM
• D. Điểm T, trong đó E = AB ∩ CD, T = SA ∩ EM

Hướng dẫn giải

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E = AB ∩ CD

Trong (SAB) gọi N là giao điểm của ME và SB.

Ta có: N ∈ EM ⊂ (MCD) ⇒ N ∈ (MCD)    (1)

Lại có: N ∈ SB     (2)

Từ (1) và (2) suy ra: N = SB ∩ (MCD)

Chọn B.

Câu 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy ABCD có các cạnh đối diện không song song với nhau và M là một điểm trên cạnh SA. Tìm giao điểm của đường thẳng MC và mặt phẳng (SBD).

• A. Điểm H, trong đó I = AC ∩ BD, H = MA ∩ SI
• B. Điểm F, trong đó I = AC ∩ BD, F = MA ∩ SI
• C. Điểm K, trong đó I = AC ∩ BD, K = MA ∩ SI
• D. Điểm V, trong đó I = AC ∩ BD, V = MA ∩ SI

Hướng dẫn giải

Trong mp(ABCD), gọi I = AC ∩ BD

Trong mp(SAC) gọi k = MC ∩ SI

Ta có K ∈ SI ⊂ (SBD) và K ∈ MC

nên K = MC ∩ (SBD)

Chọn C.

Câu 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, M là một điểm trên cạnh SC, N là trên cạnh BC. Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN).

• A. Điểm K, trong đó K = IJ ∩ SD, I = SO ∩ AM, O = AC ∩ BD, J = AN ∩ BD
• B. Điểm H, trong đó H = IJ ∩ SD, I = SO ∩ AM, O = AC ∩ BD, J = AN ∩ BD
• C. Điểm V, trong đó V = IJ ∩ SD, I = SO ∩ AM, O = AC ∩ BD, J = AN ∩ BD
• D. Điểm P, trong đó P = IJ ∩ SD, I = SO ∩ AM, O = AC ∩ BD, J = AN ∩ BD

Hướng dẫn giải

+ Trong mặt phẳng (ABCD) gọi O = AC ∩ BD, J = AN ∩ BD

+ Trong mp (SAC) gọi I = SO ∩ AM và K = IJ ∩ SD

Ta có I ∈ AM ⊂ (AMN), J ∈ AN ⊂ (AMN) ⇒ IJ ⊂ (AMN)

Do đó K ∈ IJ ⊂ (AMN) ⇒ K ∈ (AMN)

Vậy K = SD ∩ (AMN)

Chọn A.

Câu 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi E; F; G là điểm lần lượt thuộc các cạnh AB; AC; BD sao cho EF không song song với BC; EG Không song song với AD. Tìm giao điểm của AD và mp(EFG)

• A. Điểm H – giao điểm của AD và EG
• B. Điểm I – giao điểm của EF và BC
• C. Trung điểm của CD
• D. Điểm O – giao điểm của CD và GI trong đó I là giao điểm của EF và BC

Hướng dẫn giải

+ Trong mp (ABD), gọi giao điểm của GE và AD là H. Ta có

+ H thuộc GE mà GE ⊂ (GEF) suy ra H ∈ (GEF).

+ Lại có: H ∈ AD.

Do đó H ∈ AD ∩ (GEF).

Chọn A.

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy không là hình thàng. Gọi AD ∩ BC = I; SI ∩ BM = K và AB ∩ CD = O. Trên SC lấy điểm M; gọi N là giao điểm của SD và AK. Chọn mệnh đề sai?

• A. Ba đường thẳng AB; CD; MN đồng quy
• B. O; M; N thẳng hàng
• C. N là giao điểm của SD và (MAB)
• D. Có ít nhất một mệnh đề sai

Hướng dẫn giải

+ Trong mặt phẳng (SAD), N là giao điểm AK và SD.

Khi đó N là giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMB)

+ Giao điểm của AB và CD là O. Suy ra

– O thuộc (AMB).

– O thuộc CD mà CD ⊂ (SCD) suy ra O thuộc (SCD).

Do đó O ∈ (AMB) ∩ (SCD)    (1)

Mà giao tuyến của (AMB) và (SCD) là MN    (2)

Từ (1) và (2) , suy ra O thuộc MN nên 3 điểm O; M; N thẳng hàng

Vậy ba đường thẳng AB; CD; MN đồng quy.

Chọn D.

Câu 6: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB. Gọi I, J là trung điểm SA, SB. Lấy điểm M tùy ý trên SD; gọi H là giao điểm của AD và BC. Tìm giao điểm của IM và (SBC)

• A. Giao điểm của IM và SC
• B. Giao điểm cuả IM và SH
• C. Giao điểm của IM và HC
• D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải

Chọn mp(SAD) chứa IM. Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC)

Có S ∈ (SAD) ∩ (SBC)   (1)

Trong mp(ABCD) có

+ Từ (1) và (2) suy ra (SAD) ∩ (SBC) = SH

+ Trong mp(SAD) gọi

Vậy giao điểm của IM và (SBC) là giao điểm của IM và SH

Chọn B.

Câu 7: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB. Gọi I, J là trung điểm SA, SB. Lấy điểm M tùy ý trên SD; gọi O là giao điểm của AC và BD. Tìm giao điểm của JM và (SAC)

• A. Giao điểm của JM và SC
• B. Giao điểm cuả JM và SO
• C. Giao điểm của JM và OC
• D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải

+ Chọn mp(SBD) chứa JM. Tìm giao tuyến của (SBD) và (SAC)

Có S ∈ (SBD) ∩ (SAC)    (1)

Trong mp(ABCD) có

⇒ O ∈ (SAC) ∩ (SBD)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra (SAC) ∩ (SBD) = SO

+ Trong mp(SBD) gọi F = JM ∩ SO

Vậy giao của JM và (SAC) là giao điểm của JM và SO

Chọn B.

Câu 8: Cho tứ diện ABCD trong đó có tam giác BCD không cân. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AB; CD và G là trung điểm của đoạn MB. Gọi A₁ là giao điểm của AG và (BCD). Khẳng định nào sau đây đúng?

• A. A₁ là tâm đường tròn tam giác BCD
• B. A₁ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD
• C. A₁ là trực tâm tam giác BCD
• D. A₁ là trọng tâm tam giác BCD

Hướng dẫn giải

+ Mặt phẳng (ABN) cắt mặt phẳng (BCD) theo giao tuyến BN.

Mà AG ⊂ (ABN) suy ra AG cắt BN tại điểm A₁

+ Qua M dựng MP// AA₁ với M ∈ BN.

Có M là trung điểm của AB suy ra P là trung điểm BA1 nên BP = PA₁    (1)

+ Tam giác MNP có: MP // GA₁ và G là trung điểm của MN

⇒ A₁ là trung điểm của NP nên PA₁ = NA₁    (2)

+ Từ (1) và (2) suy ra: BP = PA₁ = NA₁

⇒ (BA₁)/BN = 2/3

Mà N là trung điểm của CD.

Do đó, A₁ là trọng tâm của tam giác BCD.

Chọn D.

Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SB; N là trọng tâm tam giác SCD. Xác định giao điểm của:

• A. MN và (ABCD)
• B. MN và (SAC)
• C. SC và (AMN)
• D. SA và (CMN)

Hướng dẫn giải

A. Gọi E trung điểm của CD

Trong mp(SBE) gọi

B. Chọn mp(SBE) chứa MN

Tìm giao tuyến (SBE) và (SAC)

Có S ∈ (SAC) ∩ (SBE)    (1)

+ Trong mp(ABCD) gọi

+ Từ (1) và (2) suy ra (SAC) ∩ (SBE) = SG.

Trong mp(SBE) gọi H = MN ∩ SG

C. Chọn mp(SAC) chứa SC. Tìm giao tuyến (SAC) và (AMN)

Có A ∈ (SAC) ∩ (AMN)    (3)

Có H = MN ∩ SG

⇒

Từ (3) và (4) suy ra (AMN) ∩ (SAC) = AH

Trong mp(SAC) gọi K = SC ∩ AH

D. Chọn mp(SAC) chứa SA. Tìm giao tuyến (SAC) và (CMN)

Có C ∈ (SAC) ∩ (CMN)    (5)

Có H = MN ∩ SG

Từ (5) và (6) suy ra (CMN) ∩ (SAC) = CH

Trong mp(SAC) gọi I = SA ∩ CH

Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình chóp S. ABCD. Lấy điểm M trên cạnh SC.

a) Tìm giao điểm của đường thẳng AM và mặt phẳng (SBD).

b) Lấy điểm N trên cạnh BC. Tìm giao điểm của đường thẳng SD và mặt phẳng (AMN).

Bài 2.Cho tứ diện ABCD. Trên AC và AD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho MN không song song với CD. Gọi O là một điểm bên trong tam giác BCD.

a) Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD).

b) Tìm giao điểm của BC và BD với mặt phẳng (OMN).

Bài 3.Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Lấy điểm P trên cạnh BD sao cho PB > PD. Tìm giao điểm của

a) CD và (MNP).

b) AD và (MNP).

Bài 4. Cho tứ diện ABCD. Lấy hai điểm M, N lần lượt trên AC và AD sao cho MN không song song CD. Lấy điểm O bên trong ΔBCD.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (OMN) và (BCD).

b) Tìm giao điểm của các đường thẳng BC, BD với mặt phẳng (OMN).

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB. Gọi I, K là 2 điểm trên SA; BC. Gọi E là giao điểm của AK và BD; O là giao điểm của AC và BD. Tìm giao điểm của IK với (SBD).

Giao tuyến của 3 mặt phẳng

Lý thuyết về giao tuyến của 3 mặt phẳng

Định lý:

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

Hệ quả:

Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của hai mặt phẳng đó (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó).

Công thức:

Phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song với nhau

Giả sử a ⊂ (P), b ⊂ (Q), a // b. Tìm giao tuyến của (P) và (Q)

Bước 1: Tìm 1 điểm chung M của (P) và (Q)

Bước 2: Ta có:

Kết luận: Giao tuyến của (P) và (Q) là đường thẳng d, với d đi qua M và d // a // b.

Ví dụ minh họa giao tuyến của 3 mặt phẳng

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng:

a) (SAB) và (SCD).

b) (MCD) và (SAB), với M là một điểm bất kì thuộc cạnh SA.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

=> (SAB) ∩ (SCD) = xx’, với S ∈ xx’ và xx’ // AB // CD.

b) Ta có:

=> (SAB) ∩ (SCD) = yy’, với M ∈ yy’ và yy’ // AB // CD.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC và G là trọng tâm của tam giác SAB.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (IJG).

b) Xác định thiết diện của mặt phẳng (IJG) với hình chóp.

Hướng dẫn giải

a) Ta có ABCD là hình thang (AB // CD) và I, J là trung điểm của AD, BC

Suy ra IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên IJ // AB.

Ta có:

=> (SAB) ∩ (IJG) = d với G ∈ d và d // AB // IJ.

b) Trong (SAB), gọi d cắt SA, SB lần lượt tại M, N.

Ta có:

Vậy tứ giác IJNM là thiết diện của mặt phẳng (IJG) với hình chóp.

Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD)và (SBC). Khẳng định nào sau đây đúng?

• A. d qua S và song song với BC
• B. d qua S và song song với DC
• C. d qua S và song song với AB
• D. d qua S và song song với BD

Đáp án: 1A

Bài 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J theo thứ tự là trung điểm của AD và AC, G là trọng tâm tam giác BCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (GIJ) và (BCD) là đường thẳng:

• A. qua I và song song với AB
• B. qua J và song song với BD
• C. qua G và song song với CD
• D. qua G và song song với BC

Đáp án: 2C

Một số khái niệm liên quan đến giao điểm

Tọa độ giao điểm là gì?

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là điểm mà tại đó, hai đường thẳng cắt nhau. Nếu chúng ta có hai đường thẳng L1 và L2, thì tọa độ giao điểm của chúng có thể được tính bằng cách giải hệ phương trình tuyến tính của hai đường thẳng đó.

Để tìm tọa độ giao điểm, giả sử phương trình của hai đường thẳng được viết dưới dạng tổng quát như sau:

a₁x + b₁y + c₁ = 0

a₂x + b₂y + c₂ = 0

Giả sử tọa độ giao điểm là, khi đó:

a₁x₀ + b₁y₀ + c₁ = 0

a₂x₀ + b₂y₀ + c₂ = 0

Sử dụng phương pháp nhân chéo (Cross multiplication rule), tọa độ giao điểm có thể được tìm ra từ các mối quan hệ sau:

x₀ = (b₁c₂ − b₂c₁)/(a₁b₂ − a₂b₁)

y₀ = (c₁a₂ − c₂a₁)/(a₁b₂ − a₂b₁)

Tính chất của tọa độ giao điểm:

• Hai đường thẳng giao nhau chỉ tại một điểm duy nhất.
• Góc hình thành từ giao điểm của hai đường thẳng có thể là bất kỳ giá trị nào từ lớn hơn 0 đến nhỏ hơn 180 độ.
• Hai đường thẳng giao nhau tạo ra một cặp góc đối đỉnh. Các góc đối đỉnh có chung đỉnh (là điểm giao điểm) và bằng nhau.
• Nếu hai đường thẳng giao nhau tạo thành một góc vuông, chúng được gọi là đường thẳng vuông góc.
• Nếu hai đường thẳng giao nhau không tạo ra bất kỳ góc nào (góc bằng 0 độ), chúng được gọi là đường thẳng song song, tức là không có điểm giao nhau.

Quỹ tích giao điểm là gì?

Lý thuyết về quỹ tích giao đểm

Quỹ tích giao điểm là một khái niệm trong toán học, cụ thể trong hình học, đề cập đến tập hợp tất cả các điểm trong không gian mà tại đó, giao điểm của hai hoặc nhiều hình học (như đường thẳng, đường cong, mặt phẳng) có thể xuất hiện dưới điều kiện cụ thể hoặc khi một số hình học này thay đổi vị trí hay hình dạng theo một quy luật nhất định. Quỹ tích này không chỉ giúp xác định vị trí mà còn cả hình dạng và các đặc tính khác của giao điểm dưới các điều kiện và giả định nhất định.

Để hiểu rõ hơn, có thể hình dung quỹ tích giao điểm như là bản đồ hoặc dấu vết mà giao điểm giữa các hình học để lại trong không gian khi chúng di chuyển hay biến đổi. Quỹ tích này thường được biểu diễn qua một phương trình hoặc một nhóm phương trình, thể hiện mối liên hệ toán học giữa các hình học đó và cho phép ta xác định giao điểm dựa trên các biến số cụ thể.

Tính chất quan trọng của quỹ tích giao điểm:

• Đặc trưng toán học: Quỹ tích thể hiện mối quan hệ hình học qua một tập hợp các điểm, được mô tả bởi các phương trình toán học, giúp ta hình dung được cấu trúc và dữ liệu hình học của không gian.
• Đa dạng hình dạng: Hình dạng của quỹ tích giao điểm có thể rất đa dạng, tùy thuộc vào loại và quy luật di chuyển của các hình học liên quan. Có thể là một đường thẳng, một đoạn, một đường cong, một mặt phẳng, hoặc thậm chí là một không gian nhiều chiều.
• Ứng dụng: Quỹ tích giao điểm chứa đựng thông tin quan trọng giúp giải quyết các bài toán hình học, từ cơ bản đến nâng cao, và được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật, thiết kế, và thậm chí trong nghệ thuật.

Phương pháp giải bài tập quỹ tích giao điểm

Để tìm tập hợp giao điểm I của hai đường thẳng thay đổi a; b ta chọn hai mặt phẳng cố định

(α) và (β) cắt nhau lần lượt chứa a và b

Khi đó I = a ∩ b ⇒

⇒ I ∈ d = (α) ∩ (β)

Vậy điểm I thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β)

Để chứng minh đường thẳng d đi qua một điểm cố định ta thực hiện theo các bước sau:

– Chọn một điểm cố định J thuộc hai mặt phẳng (P) và (Q)

– Chứng minh d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) , khi đó d đi qua điểm cố định J

Ví dụ minh họa về quỹ tích giao điểm

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn là AB. Một mặt phẳng (P) quay quanh AB cắt các cạnh SC; SD tại các điểm tương ứng E; F

• a) Tìm tập hợp giao điểm I của AF và BE
• b) Tìm tập hợp giao điểm J của AE và BF

Hướng dẫn giải

a) Phần thuận:

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay
Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay

Giới hạn:

Khi E chạy đến C thì F chạy đến D và I chạy đến H

Khi E chạy đến S thì F chạy đến S và I chạy đến S

Phần đảo:

Lấy điểm I bất kì thuộc đoạn SH , trong (SAH) gọi F = SD ∩ AI, trong (SBH) gọi E là giao điểm của SH và BI. Khi đó (ABEF) là mặt phẳng quay quanh AB cắt các cạnh SC; SD tại E; F và I là giao điểm của AF và BE.

Vậy tập hợp điểm I là đoạn SH

b) Ta có:

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay
Nhưng SO = (SAC) ∩ (SBD) nên J ∈ SO

Khi E chạy đến chạy đến C thì F chạy đến D và J chạy đến O

Khi E chạy đến S thì F chạy đến S và J chạy đến S

Lập luận tương tự trên ta có tập hợp điểm J là đoạn SO

Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD. Hai điểm M; N lần lượt nằm trên hai cạnh AB và AC sao cho AM/AB ≠ AN/AC. Một mặt phẳng (P) thay đổi luôn chứa MN, cắt các cạnh CD và BD lần lượt tại E và F .

• a) Chứng minh EF luôn đi qua một điểm cố định
• b) Tìm tập hợp giao điểm I của ME và NF
• c) Tìm tập hợp giao điểm J của MF và NE

Hướng dẫn giải

a) Trong mp (ABC) gọi K = MN ∩ BC thì K cố định và

Lại có EF = (P) ∩ (BCD) ⇒ K ∈ EF

Vậy EF luôn đi qua điểm K cố định

b) Phần thuận:

Trong (P) gọi I = ME ∩ NF ⇒

⇒ I ∈ (MCD) ∩ (NBD)

Gọi O = CM ∩ BN ⇒ OD = (MCD) ∩ (NBD) ⇒ I ∈ OD

Giới hạn:

Khi E chạy đến C thì F chạy đến B và I chạy đến O.

Khi E chạy đến D thì F chạy đến D và I chạy đến D.

Phần đảo:

Gọi I là điểm bất kì trên đoạn OD, trong (MCD) gọi E = MI ∩ CD, trong (NBD) gọi F = NI ∩ BD suy ra (MNEF) là mặt phẳng quay quanh MN cắt các cạnh DB; DC tại các điểm E; F và I = ME ∩ NF

Vậy tập hợp điểm I là đoạn O D.

c)

Khi E chạy đến C thì F chạy đến B và J chạy đến A

Khi E chạy đến D thì F chạy đến D và J chạy đến D

Từ đó ta có tập hợp điểm J là đường thẳng AD trừ các điểm trong của đoạn AD

Bài tập tự luận

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB. Gọi I,J là trung điểm SA; SB . Lấy điểm M tùy ý trên SD. Tìm giao điểm của:

• a) IM và (SBC)
• b) JM và (SAC)
• c) SC và (IJM)

Hướng dẫn giải

a) Chọn mặt phẳng phụ (SAD) chứa IM. Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC)

Có : S ∈ (SAD) ∩ (SBC)   (1)

+ Trong mp(ABCD) gọi H là giao điểm của AD và BC

⇒ H ∈ (SAD) ∩ (SBC)   (2)

+ Từ (1) và (2) suy ra:

SH = (SAD) ∩ (SBC)

+ Trong mp(SAD) gọi E là giao điểm của IM và SH

b) Chọn mặt phẳng phụ (SBD) chứa JM. Tìm giao tuyến của (SBD) và (SAC)

Có S ∈ (SBD) ∩ (SAC)   (3)

+ Trong mp(ABCD) gọi O là giao điểm của AC và BD

Từ (3) và (4) suy ra : SO = (SBD) ∩ (SAC)

Trong mp(SBD) gọi F là giao điểm của JM và SO

c) Ta có

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB. Gọi I, J, K là ba điểm trên SA; AB; BC

• a) Tìm giao điểm của IK với (SBD)
• b) Tìm các giao điểm của mp (IJK) với SD và SC

Hướng dẫn giải

a) Chọn mặt phẳng phụ (SAK) chứa IK. Tìm giao tuyến của (SAK) và (SBD)

+ S ∈ (SAK) ∩ (SBD)   (1)

+ Trong mp(ABCD) gọi E là giao điểm của AK

+ Từ (1) và (2) suy ra SE = (SAK) ∩ (SBD)

Trong mp(SAK) gọi F là giao điểm của IK và SE

b) Chọn mặt phẳng phụ (SBD) chứa SD. Tìm giao tuyến của (SBD) và (IJK)

Ta có:

+ Trong mp(ABCD) gọi M là giao điểm của JK và BD.

Từ (3) và (4) suy ra MF = (IJK) ∩ (SBD)

+ Trong mp(SBD) gọi N là giao điểm của SD và MF.

c) Chọn mp(SAC) chứa SC. Tìm giao tuyến của (SAC) và (IJK)

+ Ta có:

+ Trong mp(ABCD) gọi P là giao điểm của JK và AC.

+ Từ (5) và (6) suy ra : IP = (SAC) ∩ (IJK)

+ Trong mp(SAC) gọi Q là giao điểm của SC và IP

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SB; N là trọng tâm tam giác SCD. Xác định giao điểm của:

• a) MN và (ABCD)
• b) MN và (SAC)
• c) SC và (AMN)
• d) SA và (CMN)

Hướng dẫn giải

a) Gọi E trung điểm của CD

+ Trong mp(SBE) gọi F là giao điểm của MN và BE

b) Chọn mp(SBE) chứa MN. Tìm giao tuyến (SBE) và (SAC)

+ Ta có: S ∈ (SBE) ∩ (SAC)   (1)

+ Trong mp(ABCD) gọi G là giao điểm của AC và BE

+ Từ (1) và (2) suy ra: SG = (SBE) ∩ (SAC)

+ Trong mp(SBE) gọi H là giao điểm của MN và SG

c) Chọn mp(SAC) chứa SC. Tìm giao tuyến (SAC) và (AMN)

+ Ta có: A ∈ (AMN) ∩ (SAC)   (3)

+ Ta có

Từ (3) và (4) suy ra : AH = (AMN) ∩ (SAC)

+ Trong mp(SAC) gọi K là giao điểm của SC và AH

d) Chọn mp(SAC) chứa SA. Tìm giao tuyến (SAC) và (CMN)

+ Ta có: C = (SAC) ∩ (CMN)   (5)

+ Từ (5) và (6) suy ra : CH = (SAC) ∩ (CMN)

Trong mp(SAC) gọi I là giao điểm của SA và CH

⇒ I = SA ∩ (CMN)

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD. Lấy một điểm M thuộc miền trong tam giác SBC. Lấy một điểm N thuộc miền trong tam giác SCD.

• a) Tìm giao điểm của MN với (SAC)
• b) Tìm giao điểm của SC với (AMN)
• c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD với (AMN)

Hướng dẫn giải

a) Trong mp(SBC) gọi E = SM ∩ BC

Trong mp(SCD) gọi F = SN ∩ CD

+ Chọn mp(SEF) chứa MN

Có S ∈ (SEF) ∩ (SAC)   (1)

Trong mp(ABCD) gọi

⇒ O ∈ (SEF) ∩ (SAC)     (2)

Từ (1) và (2) suy ra (SEF) ∩ (SAC) = SO

Trong mp(SEF) gọi

b) Có A ∈ (AMN) ∩ (SAC)   (3)

Có

Từ (3) và (4) suy ra (AMN) ∩ (SAC) = AH

Trong mp(SAC) gọi Q = SC ∩ AH

c) Có MQ = (AMN) ∩ (SBC). Gọi P = SB ∩ MQ ⇒ (AMN) ∩ (SAB) = AP

Có NQ = (AMN) ∩ (SCD). Gọi R = SD ∩ NQ ⇒ (AMN) ∩ (SAD) = AR

Từ đó suy ra thiết diện cần tìm là tứ giác APQR

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N,P lần lượt là trung điểm của SB; SD và OC.

• a) Tìm giao tuyến của ( MNP) và (ABCD)
• b) Tìm giao điểm của SA và (MNP)
• c) Xác định thiết diện của hình chóp với (MNP). Tính tỉ số mà (MNP) chia các cạnh SA, BC và CD

Hướng dẫn giải

a) Ta có SO = (SAC) ∩ (SBD)

+ Trong mp(SBD) gọi H là giao điểm của MN và SO

Vì MN là đường trung bình của tam giác SBD

⇒ H là trung điểm của SO

+ Có P ∈ (MNP) ∩ (SAC)   (1)

+ Có

⇒ H ∈ (MNP) ∩ (SAC)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: (MNP) ∩ (SAC) = PH

+ Trong mp(SAC) gọi

+ Do H trung điểm của SO và P trung điểm của OC

Suy ra PH là đường trung bình của tam giác OCS nên PH // SC

+ Trong tam giác SAC có

+ Trong mp(SAB) gọi I = EM ∩ AB ⇒ I ∈ (MNP) ∩ (ABCD)   (3)

Lại có P ∈ (MNP) ∩ (ABCD)

Do đó (MNP) ∩ (ABCD) = IP

+ Trong mp(ABCD) gọi F và G lần lượt là giao điểm của IP với BC và CD.

Từ đó suy ra thiết diện cần tìm là ngũ giác FMENG.

Trong mp(SAB) dựng BK // SA, K ∈ SI ⇒ ΔMES = ΔMKB (g.c.g)

Kết luận tỉ số mà mp(MNP) chia các cạnh SA, BC và CD lần lượt là:

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K là trọng tâm của tam giác SAC và I, J lần lượt là trung điểm của CD và SD

a) Tìm giao điểm H của đường thẳng IK với mặt phẳng (SAB)

b) Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (IJK) với hình chóp

Hướng dẫn giải

+ Trong mp(ABCD) gọi O = AC ∩ BD

⇒ (SAC) ∩ (SBD) = SO

+ Vì K là trọng tâm của tam giác SAC nên:

SK = (2/3)SO

+ Trong tam giác SBD có SO là đường trung tuyến và SK = (2/3)SO

Suy ra K là trọng tâm của tam giác SBD.

Do đó B ∈ KJ

a)

+ Ta có S ∈ (SAB) ∩ (SIO)  (1)

Trong mp(ABCD) gọi E = AB ∩ IO

+ Do

Từ (1) và (2) suy ra (SAB) ∩ (SIO) = SE

+ Trong mp(SIO) gọi H = IK ∩ SE, có

b) Ta có B ∈ KJ ⇒ B ∈ (IJK) ∩ (ABCD)

⇒ Giao tuyến (IJK) ∩ (ABCD) = BI

+ Trong mp(SAB) gọi F = BH ∩ SA ⇒ (SAB) ∩ (IJK) = BF

Ngoài ra (SAD) ∩ (IJK) = FJ và (SCD) ∩ (IJK) = JI

Do đó thiết diện cần tìm là tứ giác BFJI

Câu 7: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD không là hình thang, điểm P nằm trong tam giác SAB và điểm M thuộc cạnh SD sao cho MD = 2MS

• a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (PCD)
• b) Tìm giao điểm của SC với mặt phẳng (ABM)
• c) Gọi N là trung điểm của AD, tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) và hình chóp S.ABCD

Hướng dẫn giải

a) Ta có P ∈ (SAB) ∩ (PCD)    (1)

Trong mp(ABCD) gọi H = AB ∩ CD, có

Từ (1) và (2) suy ra (SAB) ∩ (PCD) = HP

b)

+ Bước 1: Chọn mp(SCD) chứa SC.

+ Bước 2: Tìm giao tuyến của (MAB) và (SCD):

Có M, H là hai điểm chung của hai mặt phẳng (MAB) và (SCD)

⇒ HM = (MAB) ∩ (SCD)

Giao tuyến HM cắt SC tại điểm I

Vậy I là giao điểm của SC với mp(ABM)

c) Trong mp(SAD) gọi G = SA ∩ MN, có

Lại có P ∈ (SAB) ∩ (MNP)   (4)

Từ (3) và (4) ⇒ (SAB) ∩ (MNP) = GP.

Gọi K, L lần lượt là giao điểm của GP với SB và AB.

Suy ra thiết diện cần tìm là tứ giác MNLK.

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh SA, SD, P là điểm thuộc cạnh SB sao cho: SP = 3PB

• a) Tìm giao điểm Q của SC và (MNP)
• b) Tìm giao tuyến của (MNP) và (ABCD)

Hướng dẫn giải

a) Gọi O là giao điểm của AC và BD

Ta có SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD)

+ Trong mp(SBD) gọi E là giao điểm của PN và SO

Từ (1) và (2) suy ra : ME = (MNP) ∩ (SAC)

+ Trong mp(SAC) gọi Q là giao điểm của ME và SC

+ Trong mp(SBD) gọi K là giao diểm của PN và BD

+ Trong mp(SAB) gọi H là giao điểm của PM và AB.

Từ (3) và (4) suy ra: HK = (MNP) ∩ (ABCD)

Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của SD.

• a) Tìm giao điểm I của BM với mp(SAC). Chứng minh: BI = 2IM
• b) Tìm giao điểm E của SA với mp(BCM). Chứng minh E là trung điểm của SA

Hướng dẫn giải

a) Có: S ∈ (SAC) ∩ (SBD)   (1)

+ Trong mp(ABCD) gọi O là giao điểm của AC và BD

⇒ O ∈ (SAC) ∩ (SBD)  (2)

+ Từ (1) và (2) suy ra : SO = (SAC) ∩ (SBD)

+ Trong mp(SBD) gọi I là giao điểm của BM và SO

Trong tam giác SBD có I là giao điểm của hai đường trung tuyến SO và BM suy ra I là trọng tâm của tam giac SBD.

⇒ BI = 2IM

b) C ∈ (BCM) ∩ (SAC)   (3)

Từ (3) và (4) suy ra: CI = (BCM) ∩ (SAC)

+ Trong mp(SAC) gọi E là giao điểm của SA và CI

⇒ E = SA ∩ (BCI)

+ Vì I trọng tâm của tam giác SBD nên SI = (2/3)SO

+ Trong tam giác SAC có SO là đường trung tuyến và SI = (2/3)SO nên I cũng là trọng tâm của tam giác SAC.

Do đó CI là đường trung tuyến của tam giác SAC nên E trung điểm của SA

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB và AB = 2CD. Gọi I, J, K lần lượt là ba điểm trên các cạnh SA; AB; BC

• a) Tìm giao điểm của IK và mp (SBD)
• b) Tìm giao điểm F của SD và mp (IJK)

Hướng dẫn giải

a) Chọn mp(SAK) chứa IK

+ S ∈ (SBD) ∩ (SAK)   (1)

+ Trong mp(ABCD) gọi O là giao điểm của AK và BD

⇒ O ∈ (SAK) ∩ (SBD)  (2)

+ Từ (1) và (2) suy ra:

SO = (SAK) ∩ (SBD)

+ Trong mp(SAK) gọi E là giao điểm của IK và SO

b) Trong mp(ABCD) gọi P, Q lần lượt là giao điểm của JK với AD và CD.

Có:

⇒ ΔKBJ = ΔKCQ (g.c.g)

⇒ JB = CQ

+ Lại có : JB = DC (Vì JB = DC = (1/2)AB ). Do đó C là trung điểm của DQ, và BJCQ là hình bình hành.

+ Trong tam giác DPQ có CJ là đường trung bình. Do đó A là trung điểm của DP.

Có I ∈ (SAD) ∩ (IJK)   (3)

Có

Từ (3) và (4) suy ra : IP = (SAD) ∩ (IJK)

+ Trong mp(SAD) gọi giao điềm của SD và IP là F

Câu 11: Cho tứ diện S.ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên cạnh BD lấy điểm K sao cho BK = 2KD

• a) Tìm giao điểm E của CD với mp(IJK). Chứng minh: DE = DC
• b) Tìm giao điểm F của AD với mp(IJK). Chứng minh: FA = 2 FD
• c) Chứng minh: FK // IJ

d) Gọi M và N là hai điểm bất kì lần lượt nằm trên hai cạnh AB và CD. Tìm giao điểm của MN với mp(IJK)

Hướng dẫn giải

a) Trong mp(BCD) gọi E là giao điểm của CD và JK

+ Trong tam giác CEJ có: DH = (1/2).CJ nên DH là đường trung bình của tam giác này. Suy ra D trung điểm của CE

Vậy DE = DC

b)

+ Ta có:

+ E là giao điểm của CD và JK:

+ Từ (1) và (2) suy ra : EI = (ACD) ∩ (IJK)

+ Trong mp(ACD) gọi F là giao điềm của AD và (IJK)

+ Có F là giao điểm của hai đường trung tuyến AD và EI của tam giác ACE, suy ra F là trọng tâm của tam giác này.

⇒ FA = 2FD

c) Tương tự câu b) có K là trọng tâm của tam giác BCE

Theo tính chất trọng tâm có: EF/EI = EK/EJ = 2/3 ⇒ FK //IJ

d) Chọn mp(ABN) chứa MN

+ Trong mp(BCD) gọi P là giao điểm của BN và JK

Câu 12: Cho tứ diện SABC có D, E lần lượt là trung điểm của AC; BC và G là trọng tâm của tam giác ABC. Mặt phẳng (α) đi qua AC cắt SE; SB lần lượt tại M; N. Một mặt phẳng (β) đi qua BC cắt SD; SA tương ứng tại P và Q.

a) Gọi I = AM ∩ DN, J = BP ∩ EQ. Chứng minh: S; I; J; G thẳng hàng

b) Giả sử K = AN ∩ DM, L = BQ ∩ EP. Chứng minh S; K; L thẳng hàng

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

Từ (1), (2), (3) và (4) ta có: S; I; J; G là điểm chung của hai mặt phẳng (SBD) và (SAE) nên chúng thẳng hàng.

b)

Ta có:

S ∈ (SAB) ∩ (SDE)

Vậy S; K; L là điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SDE) nên chúng thẳng hàng.

Giao điểm 3 đường cao gọi là gì?

Giao điểm của ba đường cao trong một tam giác gọi là trực tâm của tam giác đó.

Giao điểm 3 đường trung trực gọi là gì?

Giao điểm của ba đường trung trực trong một tam giác được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó.

Giao điểm 3 đường trung tuyến gọi là gì?

Giao điểm của ba đường trung tuyến trong một tam giác được gọi là trọng tâm của tam giác đó.

Giao điểm 3 đường phân giác gọi là gì?

Giao điểm của ba đường phân giác trong một tam giác gọi là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác đó.

Xem thêm:

• Đồ thị của hàm số y=ax+b và tổng hợp các dạng đồ thị hàm số liên quan
• Phương trình đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng
• Viết phương trình tham số của đường thẳng, đường tròn, mặt phẳng

Qua bài viết, bạn đã cùng khám phá về giao điểm là gì – một khái niệm cơ bản nhưng đầy thú vị trong hình học. Ắc hẳn bạn đã hiểu rõ hơn về tính chất, phương pháp vẽ và phân loại giao điểm, từ đó mở rộng kiến thức về thế giới hình học đa dạng và phức tạp. Hy vọng, với những thông tin này, bạn sẽ có thêm động lực và niềm đam mê để tiếp tục khám phá sâu hơn về hình học và áp dụng vào trong học tập cũng như cuộc sống.