Trong hình học, trọng tâm là một điểm đặc biệt trong một tam giác, đóng vai trò quan trọng trong nhiều vấn đề về hình học và ứng dụng thực tế. DINHNGHIA sẽ giúp bạn hiểu rõ trọng tâm là gì, tính chất của trọng tâm trong tam giác, cách xác định trọng tâm và một số bài tập vận dụng qua bài viết sau nhé.
Nội dung bài viết
Trọng tâm là gì?
Trọng tâm của một tam giác là điểm giao nhau của ba đường trung tuyến. Đường trung tuyến là đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện. Trọng tâm thường được ký hiệu là điểm G.
Tính chất của trọng tâm trong tam giác
Trọng tâm của tam giác có tính chất quan trọng sau: Trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến theo tỉ lệ 2:1, tức là đoạn thẳng từ đỉnh đến trọng tâm bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến.
Trọng tâm tam giác vuông
Trọng tâm tam giác vuông nằm trên đường trung tuyến ứng với cạnh huyền, cách đỉnh góc vuông một đoạn bằng 1/3 đường trung tuyến đó.
Trọng tâm tam giác cân
Trọng tâm tam giác cân nằm trên đường trung tuyến ứng với cạnh đáy, đồng thời cũng là đường cao, đường phân giác của tam giác.
Trọng tâm của tam giác vuông cân
Trọng tâm tam giác vuông cân nằm trên đường trung tuyến ứng với cạnh huyền, cách đỉnh góc vuông một đoạn bằng 1/3 đường trung tuyến đó. Đồng thời, trọng tâm cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Trọng tâm tam giác đều
Trọng tâm tam giác đều nằm trên đường trung tuyến ứng với mỗi cạnh, đồng thời cũng là đường cao, đường phân giác của tam giác. Trọng tâm cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
Cách xác định trọng tâm tam giác
Có 3 cách để xác định trọng tâm của tam giác:
Cách 1: Xác định trọng tâm tam giác là giao điểm của 3 đường trung tuyến các cạnh.
- Bước 1: Vẽ tam giác ABC, lần lượt xác định trung điểm của các cạnh AB, BC và CA.
- Bước 2: Nối lần lượt các đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện. Nối A với G, B với F, C với E.
- Bước 3: Giao điểm I của ba đường trung tuyến là AG, BF, CE là trọng tâm của tam giác ABC.
Cách 2: Xác định trọng tâm của tam giác dựa trên tỉ lệ đường trung tuyến như sau:
- Bước 1: Vẽ tam giác ABC, xác định trung điểm M của cạnh BC.
- Bước 2: Nối đỉnh A với trung điểm M, sau đó lấy điểm S sao cho AS = 2/3 AM. Theo tính chất trọng tâm tam giác thì điểm S chính là trọng tâm tam giác ABC.
Cách 3: Xác định trọng tâm của tam giác dựa vào tọa độ của trọng tâm tam giác trong mặt phẳng Oxy:
Trong mặt phẳng Oxy, nếu A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) là các đỉnh của tam giác, thì tọa độ trọng tâm G được tính theo công thức:
Bài tập về tính chất trọng tâm tam giác
Lý thuyết về trọng tâm tam giác
Trọng tâm tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến.
Áp dụng quy tắc trọng tâm tam giác:
Điểm G là trọng tâm tam giác ABC thì ta có:
với mọi điểm M bất kỳ.
Ví dụ minh họa về trọng tâm tam giác
Ví dụ 1: Cho G và G’ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A’B’C’. Chứng minh rằng:
Hướng dẫn giải:
Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:
Do G’ là trọng tâm tam giác A’B’C’ và có điểm G nên ta có:
Ví dụ 2: Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì đẳng thức nào sau đây đúng?
Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của BC nên ta có:
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC
Nên
(tính chất trọng tâm trong tam giác)
Suy ra B đúng, A, C, D sai.
Đáp án B
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA và AB. Chọn khẳng định sai?
Hướng dẫn giải:
+ Vì G là trọng tâm tam giác ABC và P là trung điểm của AC nên ta có GC = 2 GP mà vecto
ngược hướng
Do đó:
D sai.
Giải thích A, B, C đúng:
+ Do G là trọng tâm tam giác ABC
Suy ra B đúng.
+ Do M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và G là trọng tâm của tam giác ABC
Thay vào (1) ta được:
thay vào (2) ta được:
Đáp án D
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Xác định điểm M sao cho:
- A. Điểm M là trung điểm cạnh AC
- B. Điểm M là trung điểm cạnh GC
- C. Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số 4
- D. Điểm M chia đoạn GC thỏa mãn
Hướng dẫn giải:
+ Do G là trọng tâm tam giác ABC và M là một điểm bất kỳ
Theo giả thiết ta lại có:
Do đó ta được:
Suy ra G, M, C thẳng hàng và M khác trung điểm của AB (2)
Vậy M chia đoạn GC thỏa mãn
D đúng.
+ Từ (1) suy ra M khác trung điểm của GC (vì nếu M là trung điểm của GC thì
mâu thuẫn (1)) Suy ra B sai.
+ Từ (2) suy ra A và C sai vì A, M, C không thẳng hàng, do đó M không thể là trung điểm AC và A, M , B không thẳng hàng nên M không thể chia AB theo tỷ số 4.
Đáp án D
Ví dụ 5: Điều kiện nào sau đây không phải là điều kiện cần và đủ để G là trọng tâm của tam giác ABC, với M là trung điểm của BC.
Hướng dẫn giải:
+ Ta có:
Suy ra A, M, G thẳng hàng và vector AM ngược hướng với vector GM do đó G nằm giữa M và A.
Mặt khác M là trung điểm BC và MA = 3GM và
Vậy G là trọng tâm tam giác ABC
Suy ra A đúng.
+ Ta có:
G là trọng tâm của tam giác ABC (theo lý thuyết)
Suy ra D đúng.
+ C sai, do nếu G là trọng tâm tam giác ABC
Nên
Không phải là điều kiện để G là trọng tâm tam giác ABC.
Đáp án C
Bài tập về tìm tọa độ của trọng tâm tam giác trong mặt phẳng Oxy
Lý thuyết tìm tọa độ của trọng tâm tam giác
Áp dụng công thức tọa độ trọng tâm tam giác:
Cho tam giác ABC có A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC). Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì:
Ví dụ minh họa tìm tọa độ của trọng tâm tam giác
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(2; 0), B(0; 4), C(1; 3).
a. Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.
b. Tìm tọa độ trong tâm tam giác ABC.
Hướng dẫn giải:
a. Ta có: Vector AB =(-2; 4) và Vector AC =(-1; 3)
Do (-2/-1)≠(4/3) nên vectorAB, vector AC không cùng phương, suy ra A, B, C không thẳng hàng.
Vậy A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.
b. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Suy ra tọa độ của G là:
Vậy tọa độ trọng tâm tam giác ABC là G (1;7/3).
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác DEF với tọa độ ba điểm D(-4;1), E(2; 4) và F(2; -2).
a. Tìm tọa độ trọng tâm H của tam giác DEF.
b. Tìm tọa độ điểm K sao cho F là trọng tâm tam giác DEK.
Hướng dẫn giải:
a. Tọa độ trọng tâm H của tam giác DEF là
Suy ra H (0; 1)
b. Gọi tọa độ K(xK; yK)
Vì F là trọng tâm tam giác DEK nên ta có:
Thay số ta được:
K (8; -11)
Ví dụ 3: Tam giác ABC có C(-2; -4), trọng tâm G(0; 4), trung điểm BC là M(2; 0). Tọa độ của đỉnh A và đỉnh B là:
- A. A(4; 12), B(4; 6)
- B. A(-4; -12), B(6; 4)
- C. A(-4; 12), B(6; 4)
- D. A(4; -12), B(-6; 4)
Hướng dẫn giải:
Vì M là trung điểm BC nên
Suy ra B (6; 4)
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên
A (-4; 12)
Đáp án C
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; -1), B(5; -3) và C thuộc trục Oy, trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên trục Ox. Tọa độ của điểm C là:
- A. C(0; 4)
- B. C(0; 2)
- C. C(2; 0)
- D. C(2; 4)
Hướng dẫn giải:
Ta có:
C ∈ Oy => C(0; c)
G ∈ Ox => G(g; 0)
G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:
Vậy C(0; 4).
Đáp án A
Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(2; 0) , N(2; 2), P(-1; 3) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Tọa độ điểm B là:
- A. B(1; 1)
- B. B(1; -1)
- C. B(-1;1)
- D. B(-1; -1)
Hướng dẫn giải:
Gọi tọa độ của A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC)
M là trung điểm của BC nên ta có:
(1)
N là trung điểm của AC nên ta có:
(2)
P là trung điểm của AB nên ta có:
(3)
Từ (1), (2) và (3), cộng vế theo vế ta được:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
Suy ra tọa độ G:
Ta có:
(do G là trọng tâm của tam giác ABC, N là trung điểm của AC)
Suy ra:
B(-1; 1)
Đáp án C
Bài tập tự luyện về tìm tọa độ của trọng tâm tam giác
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 3), B(1; 4), C(5; 7). Tìm tọa độ trong tâm tam giác ABC.
Hướng dẫn giải
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Suy ra tọa độ của G là:
Vậy tọa độ trọng tâm tam giác ABC là G(8/3;14/3)
Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 5), B(–1; 3), C(2; 6). Tìm tọa độ trong tâm tam giác ABC.
Hướng dẫn giải
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
Do đó, tọa độ của G là:
Vậy tọa độ trọng tâm tam giác ABC là G(2/3;14/3)
Bài 3. Tam giác ABC có C(2; 3), trọng tâm G(0; 2), trung điểm BC là M(–2; 1). Tìm tọa độ của đỉnh A và đỉnh B.
Hướng dẫn giải
Vì M là trung điểm của BC nên
Do đó
hay
Vậy tọa độ điểm B là (–6;–1).
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên
nên
Khi đó
hay
Vậy tọa độ điểm A là (4; 4).
Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; –2), B(3; 5) và C thuộc trục Oy, trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên trục Ox. Tìm tọa độ của điểm C.
Hướng dẫn giải
Vì C thuộc trục Oy nên tọa độ điểm C là (0; c).
G nằm trên trục Ox nên tọa độ điểm G là (g; 0).
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có
nên
hay
Vậy tọa độ điểm C là (0; 1).
Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; 1), B(2; 6) và C thuộc trục Ox, trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên trục Oy. Tìm tọa độ của điểm C.
Hướng dẫn giải
Vì C thuộc trục Ox nên tọa độ điểm C là (c; 0).
G nằm trên trục Ox nên tọa độ điểm G là (0; g).
G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có
nên
hay
Vậy tọa độ điểm C là (–5; 0).
Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 6), B(3; 5), C(–1; 3). Tìm tọa độ trong tâm tam giác ABC.
Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(–2; 5), B(2; 4), C(1; 3). Tìm tọa độ trong tâm tam giác ABC.
Bài 8. Tam giác ABC có C(1; 1), trọng tâm G(3; 2), trung điểm BC là M(0; 6). Tìm tọa độ của đỉnh A và đỉnh B.
Bài 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 7), B(2; –3) và C thuộc trục Oy, trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên trục Ox. Tìm tọa độ của điểm C.
Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(5; 8), B(–2; 3) và C thuộc trục Ox, trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên trục Oy. Tìm tọa độ của điểm C.
Xem thêm:
- Định lý Pytago là gì? Công thức, hệ quả và các ứng dụng
- 5 Công thức tính diện tích tam giác thường, vuông, cân, vuông cân
- Tính chất tam giác cân: Lý thuyết và Các dạng bài tập
Bài viết đã giúp bạn hiểu rõ về trọng tâm tam giác là gì, tính chất, cách xác định và ứng dụng của nó trong các bài toán hình học. Hiểu rõ các tính chất và cách xác định trọng tâm sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán về hình học một cách hiệu quả. Cảm ơn bạn đã xem qua bài viết, nếu thấy hay hãy chia sẻ cho mọi người cùng biết nhé.