Nhắc đến sự đồng biến nghịch biến của hàm số lượng giác, chắc hẳn các em học sinh cấp 3 sẽ thấy dạng bài này rất thú vị và hay. Sau đây DINHNGHIA.COM.VN sẽ chia sẻ một số kiến thức cơ bản về chủ đề này.
Nội dung bài viết
Sự đồng biến nghịch biến của hàm số là gì?
Giả sử: K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.
Cho hàm số (y=f(x)) xác định trên K.
- Hàm số (y=f(x)) đồng biến trên K nếu:
(x1,x2 in K; x1 < x2 => f(x1)< f(x2)) - Hàm số (y=f(x)) nghịch biến trên K nếu:
(x1,x2 in K; x1 < x2 => f(x1)> f(x2))
Điều kiện cần và đủ để hàm số đồng biến, nghịch biến
Cho hàm số: (y=f(x)) có đạo hàm trên K.
- Điều kiện cần:
+ Nếu (f(x)) đồng biến trên K thì (f'(x)>= 0, với mọi x in K.)
+ Nếu (f(x)) nghịch biến trên K thì (f'(x)<= 0, với mọi x in K.)
- Điều kiện đủ:
+ Nếu (f'(x)>= 0, với mọi x in K) và (f'(x)=0) chỉ tại 1 số hữu hạn điểm thuộc K thì (f'(x)) đồng biến trên K.
+ Nếu (f'(x)<= 0,với mọi x in K) và (f'(x)=0) chỉ tại 1 số hữu hạn điểm thuộc K thì (f'(x)) nghịch biến trên K.
+ Nếu (f'(x)= 0, với mọi x in K) thì (f(x)) là hàm hằng trên K.
Các bước xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
- Bước 1: Tìm tập xác định.
- Bước 2: Tính đạo hàm. Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
- Bước 3: Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
- Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Sự đồng biến nghịch biến của hàm số lượng giác
Hàm số lượng giác là hàm số có dạng y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x.
- Hàm số sin: Quy tắc đặt tương ứng với mỗi số thực x với số thực sin x.
- (sin x: mathbb{R} => mathbb{R})
- (x mapsto y=sin x) được gọi là hàm số sin, ký hiệu là y = sin x.
- Tập xác định của hàm số sin là: (mathbb{R})
Hàm số cos: Quy tắc đặt tương ứng với mỗi số thực x với số thực cos x.
- (cos x: mathbb{R} =>mathbb{R})
- (xmapsto y=cos x) được gọi là hàm số cos, ký hiệu là y = cos x.
- Tập xác định của hàm số sin là: (mathbb{R})
Hàm số tan: là hàm số được xác định bởi công thức:
(y=sin x/cos x}= (cos x khác 0)), ký hiệu là y = tan x.
- Tập xác định của hàm số tan là: (D=R {π/2 +kπ, k ∈ Z}).
Hàm số cot: là hàm số được xác định bởi công thức:
(y=frac{=cos x/sin x}= (sin x 0)), ký hiệu là y = cot x.
Tập xác định của hàm số ykhác = cot x là: (D= R { kπ, k ∈ Z}).
Xem thêm:
- Cách đổi inch sang m cực chính xác, nhanh chóng bằng công cụ
- 1 độ bằng bao nhiêu phút, giây, radian? Cách đổi đơn vị độ (góc)
- Mét vuông đổi ra mét bằng bao nhiêu? Có đổi được không?
Các dạng toán về tính đơn điệu của hàm số lượng giác
Khi tìm hiểu về sự đồng biến nghịch biến của hàm số lượng giác, các bạn cần nắm chắc các dạng toán như sau:
Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số lượng giác lớp 11
Ta có 4 hàm số lượng giác cơ bản như sau: y= sinx, y=cox, y =tanx và y = cotx. Mỗi hàm số trên đều có tập xác định riêng, cụ thể:
- y = sinx , y = cosx có D = R.
- y = tanx có D = R {π/2 +kπ, k ∈ Z}
- y = cotx có tập xác định D = R { kπ, k ∈ Z}.
Phương pháp giải dạng bài tập này như sau:
Khi tìm hiểu về tính đơn điệu của hàm số lượng giác, bạn cần lưu ý một số kiến thức quan trọng như sau:
- Hàm số y = sinx sẽ đồng biến trên mỗi khoảng (-π/2 + k2π; π/2 +k2π), và nghịch biến trên mỗi khoảng (π/2 +k2π).
- Hàm số y = cosx sẽ nghịch biến trên mỗi khoảng (k2π; π + k2π), và đồng biến trên khoảng (-π +k2π; k2π).
- Hàm số y = tanx sẽ đồng biến trên mỗi khoảng (-π/2 +kπ; π/2 +kπ).
- Hàm số y = cotx sẽ nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ; π +kπ).
Dạng 2: Tìm tính đơn điệu của hàm số lượng giác
Với dạng toán về tính đơn điệu của hàm số lượng giác, bạn hoàn toàn có thể sử dụng máy tính cầm tay để giải nhanh dạng toán này, cụ thể:
Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số hay giá trị nhỏ nhất của hàm số, bạn cần ghi nhớ lý thuyết sau:
Dạng 4: Tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác
Phương pháp giải bài tập về tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác như sau:
- Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi làm hàm số chẵn nếu:
- Với ∀ x ∈ D thì -x ∈ D và f(x) = f(-x). Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
- Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu:
- Với ∀ x ∈ D thì -x ∈ D và f(-x) = -f(x).
- Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
Dạng 5: Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác
Với dạng toán về tính tuần hoàn của hàm số lượng giác, bạn cần làm theo các bước như sau:
- Hàm số y = f(x) xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T ≠ 0, sao cho ∀ x ∈ D. Khi đó x ± T∈ D và f(x+T) = f(x).
- Lưu ý: Các hàm số y = sin (ax +b), y = cos (ax+b) tuần hoàn với chú kì T = 2π/|a|
- Các hàm số tan (ax +b), y = cot(ax+ b) tuần hoàn với chu kì T = π/|a|.
Sự đồng biến nghịch biến của hàm số mũ và hàm số logarit
Định nghĩa sự đồng biến nghịch biến của hàm số mũ và hàm số logarit
- Hàm số mũ là hàm số có dạng y= ax (với a > 0, a≠1).
- Hàm số logarit là hàm số có dạng y = logax (với a > 0, a≠1)
Tính chất của hàm số mũ y= ax (a > 0, a≠1).
- Tập xác định: (R)
- Đạo hàm: (với mọi x thuộc{R}, y= a^{x}lna)
- Chiều biến thiên:
- Nếu a>1 thì hàm số luôn đồng biến.
- Nếu 0<a<1 thì hàm số luôn nghịch biến.
- Tiệm cận: trục Ox là tiệm cận ngang.
- Đồ thị nằm hoàn toàn về phía trên trục hoành (y= ax > 0, ∀x), và luôn cắt trục tung tại điểm (0;1) và đi qua điểm (1;a).
Tính chất của hàm số logarit y = logax (a> 0, a≠1).
- Tập xác định: ((0;+infty ))
- Đạo hàm: (với mọi x in (0;+infty ), y=1/xlna)
- Chiều biến thiên:
- Nếu a>1 thì hàm số luôn đồng biến.
- Nếu 0 < a < 1 thì hàm số luôn nghịch biến.
- Tiệm cận: Trục Oy là tiệm cận đứng.
- Đồ thị nằm hoàn toàn phía bên phải trục tung, luôn cắt trục hoành tại điểm (1;0) và đi qua điểm (a;1).
Lưu ý:
- Nếu a > 1 thì (lna>0), suy ra ((a^{x})’>0, với mọi x) và ((log_{a}x)’>0, với mọi x> 0); Hàm số mũ và hàm số logarit với cơ số lớn hơn 1 là những hàm số luôn đồng biến.
- Nếu 0 < a < 1 thì (lna<0), ((a^{x})'< 0) và ((log_{a}x)’< 0, với mọi x> 0); hàm số mũ và hàm số logarit với cơ số nhỏ hơn 1 là những hàm số luôn nghịch biến.
Công thức đạo hàm của hàm số logarit có thể mở rộng thành:
(| x |)’=1/x, với mọi x khác 0) và
((log_{a}| x |)’= 1/xlna, với mọi x≠0).
Ví dụ sự đồng biến nghịch biến của hàm số lượng giác
Tìm các khoảng đồng biến của hàm số: (y= x^{2}e^{-4x})
Tập xác định: (R)
Ta có: (y’= 2xe^{-4x}+xe^{-4x}(-4)=2xe^{-4x}(1-2x))
Khoảng đồng biến của hàm số là (1; +∞).
Xem thêm:
- Định nghĩa về số chính phương là gì? Dấu hiệu, Tính chất, Bài tập số chính phương
- Hàm số mũ là gì? Định nghĩa và Tính chất của hàm số mũ
- Số phức là gì? Modun số phức? Bài tập công thức số phức
Như vậy, bài viết trên đã cung cấp cho bạn những kiến thức bổ ích về sự đồng biến nghịch biến của hàm số, sự đồng biến nghịch biến của hàm số lượng giác cũng như các ví dụ minh họa. Nếu như có bất cứ băn khoăn hay câu hỏi nào về sự đồng biến và nghịch biến của hàm số lượng giác, mời bạn để lại nhận xét bên dưới để chúng mình cùng trao đổi thêm nhé!